开普勒三定律(“行星运动定律”)(AAAAA)Word下载.doc

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他于1609年在他出版的《新天文学》上发表了关于行星运动的两条定律，又于1618年，发现了第三条定律。

开普勒很幸运地能够得到，著名的丹麦天文学家第谷·

布拉赫所观察与收集的，非常精确的天文资料。

大约于1605年，根据布拉赫的行星位置资料，开普勒发现行星的移动遵守三条相当简单的定律。

开普勒的定律给予亚里士多德派与托勒密派在天文学与物理学上极大的挑战。

他主张地球是不断地移动的；

行星轨道不是周转圆（epicycle的，而是椭圆形的；

行星公转的速度不等恒。

这些论点，大大地动摇了当时的天文学与物理学。

经过了几乎一世纪披星戴月，废寝忘食的研究，物理学家终于能够用物理理论解释其中的道理。

牛顿利用他的第二定律和万有引力定律，在数学上严格地证明开普勒定律，也让人们了解其中的物理意义。

开普勒

开普勒（JohannesKepler，1571-1630），德国天文学家。

开普勒于1571年12月27日出生在一个德国小市民家庭。

他一来到人世间就遭到了许多不幸，天花使他成了麻子，猩红热弄坏了他的双眼。

　　17岁那年，开普勒进入了连蒂宾根大学学习，攻读神学，1591年他获得了神学硕士学位。

但因父亲负债累累，使他不得不中途退学。

由于他体弱多病，他的父母认为他只适合做一名牧师，因为这个职业轻松一些。

可是开普勒的数学才华非常出众，当他了解到一些有关自然科学的理论之后，就把当牧师的想法抛得一干二净，终于在奥地利的一所大学里教了自然科学。

1600年，30岁的开普勒贸然给素不相识的丹麦天文学家第谷写信。

他把自己研究天文学的成果和想法告诉了第谷。

第谷看后，对开普勒的才华惊叹不已，立即写信邀请他来当自己的助手。

但是开普勒来到第谷的身边仅10个月，老人便去世了。

开普勒继承了这位老人留下的非常宝贵的资料，其中包括老人对火星运动的观测。

　　利用第谷多年积累的观测资料，仔细分析研究，发现了行星沿椭圆轨道运行，并且提出行星运动三定律（即开普勒定律），为牛顿发现万有引力定律打下了基础。

　　在第谷的工作基础上，开普勒经过大量的计算，编制成《鲁道夫星表》，表中列出了1005颗恒星的位置。

这个星表比其他星表要精确得多，因此直到十八世纪中叶，《鲁道夫星表》仍然被天文学家和航海家们视为珍宝，它的形式几乎没有改变地保留到今天。

　　开普勒主要著作有《宇宙的神秘》，《光学》，《宇宙和谐论》，《哥白尼天文学概要》，《彗星论》和《稀奇的1631年天象》等。

其中，在《宇宙和谐论》中，开普勒找到了最简单的世界体系，只需7个椭圆就可以描述天体运动的体系了；

在《彗星论》中，他指出彗星的尾巴总是背着太阳，是因为太阳排斥彗头的物质造成的，这是距今半个世纪以前对辐射压力存在的正确预言；

此外，开普勒还发现了大气折射的近似定律。

为了纪念开普勒的功绩，国际天文学联合会决定将1134号小行星命名为开普勒小行星。

内容

　　开普勒的三条行星运动定律改变了整个天文学，彻底摧毁了托勒密复杂的宇宙体系，完善并简化了哥白尼的日心说。

开普勒第一定律

　　开普勒第一定律，也称椭圆定律；

也称轨道定律：

每一个行星都沿各自的

　　椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。

开普勒第二定律

　　开普勒第二定律，也称面积定律：

在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。

这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。

用公式表示为

开普勒第三定律

　　开普勒第三定律，也称调和定律；

也称周期定律：

各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

由这一定律不难导出：

行星与太阳之间的引力与半径的平方成反比。

这是牛顿的万有引力定律的一个重要基础。

这里，a是行星公转轨道半长轴，T是行星公转周期，K是常数。

数学引导

　　开普勒定律是关于行星环绕太阳的运动，而牛顿定律更广义的是关于几个粒子因万有引力相互吸引而产生的运动。

在只有两个粒子，其中一个粒子超轻于另外一个粒子，这些特别状况下，轻的粒子会环绕重的粒子移动，就好似行星根据开普勒定律环绕太阳的移动。

然而牛顿定律还容许其它解答，行星轨道可以呈抛物线运动或双曲线运动。

这是开普勒定律无法预测到的。

在一个粒子并不超轻于另外一个粒子的状况下，依照广义二体问题的解答，每一个粒子环绕它们的共同质心移动。

这也是开普勒定律无法预测到的。

　　开普勒定律，或者是用几何语言，或者是用方程，将行星的坐标及时间跟轨道参数相连结。

牛顿第二定律是一个微分方程。

开普勒定律的导引涉及解微分方程的艺术。

我们会先导引开普勒第二定律，因为开普勒第一定律的导引必须建立于开普勒第二定律。

数学证明

开普勒第一定律的证明

　　设太阳与行星质量分别M和m，取平面极作标系，行星位置用（r,α）来描述。

如图行星位置矢量是垂直单位矢量。

　　行星受太阳引力为F=-（GMm/r）r°

首先证明行星一定在同一平面内运动，有牛顿第二定律：

F=m（dv/dt）

　　力矩r×

F=-（GMm/r）r°

×

r°

=0.即r×

（dv/dt）=0。

　　d（r×

v）/dt=×

v+r×

dv/dt=0。

　　积分，得r×

v=h（常矢量）

　　上式表明，行星径矢r始终与常矢量h正交，故行星一定在同一平面内运动。

　　为了得出行星运动的轨迹，采用图中平面极坐标方向

　　，取静止的太阳为极点o，行星位置为（r,α）.在平面极坐标中，行星运动有关物理量如下：

　　径行r=r﹒r°

；

速度v=dr/dt=（dr/dt）﹒r°

+r﹒（dα/dt）﹒α°

　　r°

是径向单位矢量，α°

为径向垂直单位矢量。

　　dr/dt是径向速度分量，r﹒（dα/dt）是横向速度分量

　　速度大小满足v&

sup2;

=（dr/dt）&

+（r﹒（dα/dt））&

　　动量mv=m（dr/dt）+m（r﹒（dα/dt））

　　角动量L=r×

mv=m·

r&

（dα/dt）·

（r°

α°

）

　　得L=m·

r&

·

（dα/dt）

　　行星所受的太阳引力指向o点，故对o点力矩M=0，由角动量定理，知角动量守恒。

L为常量

　　太阳行星系统的机械能守恒，设系统总能量为E，则

　　E=&

frac12;

mv&

-GMm/r

　　因α/dt=L/mv&

dr/dt=（L/mv&

）（dr/dα）代入上式

　　（L&

/m&

）（dr/dα）&

+L&

r=2E/m+2GM/r

　　上边两式同乘m&

/L&

，得

　　dr&

/dα&

+1/r&

=2mE/L&

+2Mm&

/L&

r

　　为了简化式子，令ρ=1/r.则dr/dα=-r&

（dρ/dα）

　　于是方程变为（dr/dα）&

+ρ&

-2Gm&

Mρ/L&

　　上式对α求导。

并注意E与L为常量。

得

　　2（dr/dα）（d&

r/dα&

）+2ρ（dρ/dα）

开普勒第二定律的证明

　　开普勒第二定律是这么说的：

在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。

O为恒星，直线AC为行星不受引力时的轨迹。

设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。

现在假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。

现在行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段

时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）。

因此，t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：

向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）。

这样，SΔBCO=SΔBC’O（同底等高）。

因此，SΔBC’O=SΔABO。

因为Δt是任取的，所以在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。

开普勒第三定律的证明

　　在图中，A，B分别为行星运动的近日点和远日点，以Va和Vb分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见Va和Vb的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为SA=1/2rAvA=1/2（a-c）vA……………………………………{1}

　　sB=1/2rBvB=1/2（a+c）vB

　　根据开普勒第二定律，应有SA=SB，因此得

　　vB=[（a-c）/（a+c）]vA……………………………………………{2}

　　行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为

　　EA=1/2m（vA）^2-（GMm）/rA=1/2m（vA）^2-（GMm）/（a-c）…………{3}

　　Eb=1/2m（Vb）^2-（GMm）/rB=1/2m（vB）^2-（GMm）/（a+c）

　　根据机械能守恒，应有EA=EB，故得

　　1/2m[（vA）^2-（vB）^2]=GMm[1/（a-c）-1/（a+c）]……………………{4}

　　由{2}{4}两式可解得

　　（vA）^2={（a+c）GM}/{a（a-c）}………………………………{5}

　　（vB）^2={（a-c）GM}/{a（a+c）}

　　由{5}式和{1}式得面积速度为

　　SA=SB=S=（b/2）√[（GM）/a]

　　椭圆的面积为（兀ab）,则得此行星运动周期为

　　T=（兀ab）/S=2兀a√a/（GM）…………………………{6}

　　将{6}式两边平方，便得

　　（a）^3/（T）^2=（GM）/4（兀）^2

发现过程

　　被称为“星子之王”的第谷·

布拉赫在天体观测方面获得不少成就，死后留下20多年的观测资料和一份精密星表。

他的助手开普勒利用了这些观测资料和星表，进行新星表编制。

然而工作伊始便遇到了困难，按照正圆轨道来编制火星运行表一直行不通，火星这个“狡猾家伙”总不听指挥，老爱越轨。

经过一次次分析计算，开普勒发现，如果火星轨道不是正圆，而是椭圆，那么矛盾不就烟消云散了吗。

经过长期细致而复杂计算以后，他终于发现：

行星在通过太阳的平面内沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。

这就是行星运动第一定律，又叫“轨道定律”。

　　当开普勒继续研究时，“诡谲多端”的火星又将他骗

开普勒对天文学贡献很大

了。

原来，开普勒和前人都把行星运动当作等速来研究的。

他按照这一方法苦苦计算了1年，却仍得不到结果。

后来他发现，在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的联线所扫过的面积相等。

这就是行星运动第二定律，又叫“面积定律”。

　　开普勒又经过9年努力，找到了行星运动第三定律：

太阳系内所有行星公转周期的平方同行星轨道半长