上海市延安中学学年高三上学期期中考试数学试题含答案文档格式.docx

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10.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是____________.

11.已知数列，若，则__________.

12.如图，为外接圆上一个动点，若，则的最大值为__________.

二、选择题（本大题满分20分，共4题，每题5分）

13.下列命题正确的是（）

（A）如果两条直线垂直于同一条直线， 

那么这两条直线平行；

（B）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；

（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线， 

那么这条直线平行于这个平面；

（D）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

14.设，则是的（ 

）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

15. 

某种类型的细胞按如下规律分裂:

每经过1小时，有约占总数的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞.现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过

个，需至少经过（）

（A） 

42小时（B） 

46小时（C） 

50小时（D） 

52小时

16.设函数的定义域为，满足，且当时，

，若对任何,都有成立，则实数的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. 

（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知直三棱柱中，，

（1）求异面直线与所成角:

（2）求点到平面的距离

18. 

函数是定义在实数集上的奇函数，当时，，

（1）求的解析式;

（2）若函数，求的值域.

19. 

如图，四边形中，为的内角的对边，且满足

（1）证明:

；

（2）若，且，设，当变化时，求四边形面积的最大值.

20. 

（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）

已知函数

（1）设是的反函数，当时， 

解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；

（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过,求的取值范围.

21. 

（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

记等差数列的前项和为.

（1）求证:

数列是等差数列;

（2）若是公差为1的等差数列，求使为整数的正整数的取值集合；

（3）记（为大于0的常数），求证：

【答案】

【答案】2

【答案】

8.在100件产品中有 

【解析】

【解析】由得，由，得，

累加得，

所以.

12.如图，为外接圆上一个动点，若

，则的最大值为__________.

【解析】法一：

由余弦定理得，

由正弦定理得外接圆半径，

所以，其中是在上的投影，

过点作交圆于点，如图，

则，

所以的最大值为.

法二：

以为原点建系，同法一得，，

且，所以圆的方程为，

由参数方程，设，而，

所以.

13.下列命题正确的是（D）

C）

每经过1小时，有约占总数的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞.现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过个，需至少经过（）

【解析】由题意得细胞总数和分裂时间的函数解析式为，

由得，所以，故选B.

，若对任何,都有成立，则实数的取值范围是（D）

【解析】当时，的值域为，

当时，，

所以，值域为，

，以此类推，当时，

值域为，满足，

所以，值域为，满足，

值域为，

当时，，值域为，

解，得，

综上，当时，恒成立，故选D.

已知直三棱柱中，，

（1）求异面直线与所成角；

（2）求点到平面的距离.

【解析】

（1）连接，

在直三棱柱中，，

又，，

所以，

因为，所以即为异面直线与所成角，

在中，因为，所以，

所以异面直线与所成角为；

（2）设点到平面的距离为，

，

由得，

解得，所以点到平面的距离为.

（1）因为是定义在实数集上的奇函数，所以，

设，则，所以，

所以；

（2）当时，，

当且仅当时取等号，

所以的值域为.

（1）因为，

所以，即，

由正弦定理得；

（2）因为，所以，

所以为等边三角形，

由余弦定理得，

所以

因为，所以，

所以当即时，四边形面积取得最大值.

（1）因为，所以，所以，

当时，，故解集为；

（2）方程即，

即的解集中恰好有一个元素，

当时，，符合题意，

当时，，解得，

综上所述，或；

（3）当时，设，则，，

所以在上单调递减，

所以函数在区间上的最大值与最小值为，

所以

设，则，，

当时，，

因为在上递减，所以，

所以，

所以实数取值范围是．

（1）设等差数列的公差为，

则，从而，

所以当时，，

所以数列是等差数列；

（2）因为是公差为1的等差数列，所以，

所以，所以，

显然满足条件，不满足条件，

当时，因为，

所以，所以，故不是整数，

综上所述，正整数的取值集合是；

（3）设等差数列的公差为，则，

所以数列是首项和公比均大于0的等比数列，设公比，

下面证明：

，其中为正整数，且，

因为，

当时，为增函数，因为，

当是，为减函数，因为，

综上，有，其中为正整数，且，