级第二学期高数结课统考试题含答案Word格式.docx

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三、计算下列各题（每小题5分，共20分）

1.设，其中具有二阶连续偏导数，求.

答案：

.

也可以写成.

2.设，求.

解

3.计算积分，其中是立体的边界。

（第十章的内容）

解设上底为，下底为.

4.计算三重积分，其中由曲面和平面围成。

四、讨论函数的连续性。

（6分）

解由初等函数连续性知，非原点处，函数连续。

，

其中.故函数在原点也连续。

于是有，函数处处连续。

五、用求条件极值的方法求椭圆的长半轴与短半轴。

解易知椭圆中心在圆柱面的旋转轴（即轴）上，还在平面上。

故椭圆中心为点.椭圆上的点到椭圆中心的最大、最小距离分别为长半轴与短半轴。

距离.

令，

解得.

或.

故长半轴为，短半轴为.

注如果本题不要求用拉格朗日乘数法，还可以这样算：

由于，

故

当时，取最大值；

当时，取最小值.

六、求抛物面的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面

围成的体积最小，试写出切平面方程并求出最小体积。

解法一设切点为，则切向量为，切平面

，即

体积

（令）

故当时，体积最小为，此时切平面方程为.

解法二切平面、柱面、平面所围的有向体积最大时，所求体积达到最小。

而切平面与柱面轴线的交点代表了那个曲顶柱体的平均高度。

由抛物线的凸性知，切平面位于抛物面下方，而抛物面与轴线交于.即平均高度最大为2，此时切点为，切平面方程，体积最小为

七、设有一阶连续偏导数，是光滑曲线段，是其参数表达式，证明：

，其中，.（5分）

证.

八、设在上非负连续，在上连续且单调增加，证明：

.（5分）

证设平面区域

左式

（对称性）

同理，右式

右式-左式

故不等式得证。

南开大学2014级场论与无穷级数试卷2015年6月22日

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.下列级数中，收敛的是（B）.

（A）（B）（C）（D）

2.设函数是以为周期的周期函数,在闭区间上有:

（13.8）

则的傅立叶级数在处收敛于（A）.

3.幂级数的收敛域是（D）.

4.微分方程满足初值条件的解是（A）.

5.选取单位球面的外侧为正侧,若在点处取单位球面的单位法向量,使其方向与球面的定向一致,则该方向法向量是（B）.

二、填空题（每小题5分，共25分）

1.幂级数的和函数是；

（13.6）

2.指出级数的条件收敛和绝对收敛性:

条件收敛；

3.微分式的原函数是；

4.齐次方程的通解是；

5.曲面积分,其中是坐标平面上的圆的下侧。

1.将函数展开成余弦级数。

2.将函数展开为的幂级数。

（13.7）

，.

3.计算，其中是上半球面,，取上侧。

（上半球的体积）.

4.求微分方程的通解。

解.

四、试利用格林公式和第二型曲线积分求由曲线与两个坐标轴所围区域的面积。

（10分）

解曲线段端点，，曲线段记为.

（其中D为所围区域）

五、计算曲面积分，其中是单位球面的外侧，为正常数。

（8分）

解取充分小的正数，使在内，取外侧。

为与所围立体。

六、证明幂级数的和函数在区间内满足微分方程

.（7分）

证

代入验证即可。

七、证明：

若正项级数收敛，则级数发散。

（5分）

证对任意给定的，由题设，收敛。

于是

故存在，使得.于是

由柯西收敛原理，发散。

南开大学2015级多元函数微积分试卷2016年4月23日

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.函数在其定义域上（A）

A.处处连续B.处处不连续C.当时不连续D.当时不连续

2.在点处对的偏导数为（B）

A.0B.1C.D.2

3.曲线在点处的单位切向量是（A）

A.B.C.

D.

4.设区域，则二重积分（B）

A.B.1C.2D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

1.2；

2.函数在点处的全微分是；

3.函数在点处沿与轴正方向成的方向上的导数是；

（只写其中一个答案也不扣分）

4.椭球体在点处的切平面方程是

。

三、计算下列各题（每题8分）：

1.设方程确定了隐函数，求,.

答案，（也可以写成，）

2.求曲线在点处的切线方程。

答案切线方程为.

3.计算二重积分，其中是由抛物线和围成。

解两条抛物线交点为.

四、

（1）求在约束条件下的极值；

（2）在第一问所求极值点处计算，其中是曲线在该极值点处的单位切向量（8分）。

解

（1）

解得

为条件极大值，为条件极小值。

（2）曲线的切向量为，在条件极值点处的切向量为

，单位切向量为.故

五、求，其中是介于两个圆和之间的平面区域（8分）。

解设由圆围成，由圆围成，则

六、计算三重积分，其中为所确定的区域（8分）。

七、设在上有连续一阶偏导数，且满足，证明

在上为常数（6分）。

证法一

，设为向量对应的单位向量

易知方向导数.

于是在以为端点的射线上，取值不变，即.

故在上为常数。

证法二（极坐标）

当时，由题设，有.

八、设为，证明

（6分）。

证法与2011级第八题类似。

南开大学2015级场论与无穷级数试卷2016年6月13日

1.下列级数收敛的是（D）（）

（A）（B）（C）（D）

2.幂级数的收敛域是（C）

A.B.C.D.；

3.若任意项级数条件收敛，则下列选项中成立的是（B）（13.3）

（A）可能也可能，（B）必有，

（C）必有，（D）必有；

4.设有曲线，则积分=（A）

A.2,B.,C.,D.

二、填空题

1.级数的敛散情况是收敛；

2.幂级数在区间内的和函数是；

3.考虑直线段L：

y=x,以为起点，为终点，则2；

4.微分式的原函数是。

三、计算下列各题

1.判断级数是发散、条件收敛或者绝对收敛。

答案条件收敛。

2.将函数展开为的幂级数。

答案，

3.把函数展为傅里叶级数。

答案见教材例题。

4.计算曲面积分，其中是球面

解，

四、计算积分，其中S是柱面在第一卦限中的部分的前侧。

五、计算，其中为从点A沿左半圆周到点。

解记线段到为，为左半圆。

由格林公式，

原式=

六、设是单位球面的外侧，求曲面积分。

解设是椭球面的外侧，由与围成，由围成。

由高斯公式，

七、设D是有逐段光滑边界的单连通平面区域，取逆时针方向，函数在上有连续偏导数，证明

（1）；

（2）若在上有二阶连续偏导数，，且在上，则有

。

证

（1）由格林公式立得。

（2）在

（1）中代入，得

类似可证

.于是

八、设函数在点的某邻域内有连续的导数，且，证明：

发散，而条件收敛.（13.3）

（这里也可用洛必达法则）

于是在点的某邻域内单调增加，

故当充分大时，单调减少。

于是当充分大时，非负。

由莱布尼兹判别法，而收敛。

由比较判别法极限形式，发散，而条件收敛。

南开大学2016级多元函数微积分试卷2017年4月8日

一、选择题（每小题4分，共16分）

1.设,则在点（0,0）处（B）

（A）连续（B）间断（C）不存在（D）不存在

2.设空间曲线的参数方程为：

则其在处的切线方程为（D）

（A）（B）

（C）（D）

3.函数在点处连续,则两个偏导数存在是在该点可微的（C）

（A）充分必要条件（B）充分条件,但不是必要条件

（C）必要条件,但不是充分条件（D）既不是充分条件,也不是必要条件

以下是函数连续，偏导数存在，但函数不可微的例子:

4.设积分区域，则积分与的大小关系是（）

（A）（B）（C）（D）不能确定

积分区域D的边界是圆，与直线相切。

在圆内，，

二、填空题（每小题4分，共16分）

1.；

3.曲面在（1，1，1）处的切平面方程为；

4.设二次积分为，改换其积分次序后该二次积分为

三、计算下列各题（每小题10分，共30分）

1.求由方程确定的隐函数z=z（x,y）的偏导数。

，解得.

2.设，求函数的极值。

3.计算二重积分，其中.

四、计算三重积分，其中由椭圆抛物面和平面所围成。

五、设具有连续的二阶偏导数，，求（8分）

六、计算积分，其中为平面曲线所围成的有界区域。

七、设连续且恒大于零，,,

其中,,

证明:

当时，.（7分）

八、设在上连续，在内满足，且在上，试证：

当时，.（7分）

南开大学2016级场论与无穷级数试卷2017年6月12日

1.设L为圆周,取顺时针方向,则

（A）

A.B.C.D.

解用格林公式即可。

2.正项级数，部分和数列有界是收敛的（C）

A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

3.已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则级数

（B）

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判定

4.微分方程的通解为（D）

A.B.C.D.

1.设C的参数方程为则

=.

2.当=时，曲线积分与路径无关。

3.幂级数的收敛域是

4.微分方程的通解为.

提示

1.设为抛物面在xOy平面上方的部分,

求.

2.判别级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛.（13.3）

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