上海高一上数学期末考试Word格式.docx
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C:
D:
2.函数的图象是( )
3.函数在上是减函数,则实数a的取值范围是( )
a=5
4.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为,则下列各数中与最接近的是( )
三、解答题(共5小题,共52分)
1.已知,试比较与的值的大小.
2.已知集合,,若,求实数a的取值范围.
3.判断并证明函数在区间上的单调性.
4.如图,在半径为的半圆(O为圆心)形铁皮上截取一块矩形材料,其中A,B在直径上,C,D在圆周上.
(1)设,将矩形的面积y表示为x的函数,并写出定义域
(2)应怎样截取,才能使矩形的面积最大?
最大面积是多少?
5.已知函数的图象经过点和
(1)求的解析式
(2)若,求实数x的值
(3)令,求的最小值,及取最小值时x的值.
【考点】交集及其运算
【分析】解:
,
或,0\},
则集合.
故答案为:
.
解不等式得出集合B,再求.
本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.
【答案】
【考点】绝对值不等式
由不等式可得,
故不等式的解集为,
由不等式,可得,解得.
本题考查查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式来解.
【考点】反函数
∵其反函数的图象经过点,
∴函数经过点,
1.
由题意得,函数经过点,从而得出关于m的方程,解此方程即可得答案.
反函数是函数知识中重要的一部分内容.对函数的反函数的研究,我们应从函数的角度去理解反函数的概念,从中发现反函数的本质,并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.
【答案】1
【考点】集合的包含关系判断及应用,交集及其运算
,,
∴命题“若,则”是真命题.
真.
由,得.
本题考查命题的真假判断,考查交集、子集等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
【答案】真
【考点】基本不等式
,当且仅当x=2时取等号.
则的最小值为3.
3.
变形利用基本不等式的性质即可得出.
本题考查了变形利用基本不等式的性质,属于基础题.
【答案】3
【考点】对数的运算性质
,则.
利用对数运算性质即可得出.
本题考查了对数运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
【考点】函数的定义域及其求法
由分段函数的表达式得,
则,
-7
根据分段函数的表达式,利用代入法进行求解即可.
本题主要考查函数值的计算,根据分段函数的表达式利用代入法是解决本题的关键.
【答案】-7
由,解得且.
的定义域为且,
则且,
的值域是.
求出函数的定义域并化简,然后求出x+2的范围,开方得答案.
本题考查函数值域的求法,解答此题的关键是明确函数定义域,是基础题.
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
因为函数是幂函数,且,
所以其在上是增函数,
所以根据幂函数的性质,有,即,
所以.
故答案为.
由于给出的函数是幂函数,且,所以其在上是增函数,其指数为正,求解一元二次方程得k取值范围.
本题考查了幂函数的概念,解答的关键是熟记幂函数的定义及性质,此题是基础题.
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
设,则,
因为在区间上的解析式为,
所以,
又因为为偶函数,
综上所述,,
.
通过设,利用及已知在区间上偶函数的解析式可得结论.
本题考查函数解析式的求解及常用方法,涉及函数的奇偶性,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于中档题.
【考点】函数的零点与方程根的关系
令得,
作出的函数图象如图所示:
有4个零点,
∴直线y=a与的图象有4个交点,
作出的函数图象,令y=a与函数图象有4个交点得出a的范围.
本题考查了函数零点与函数图象的关系,考查数形结合的应用,属于基础题.
【考点】定积分
当函数的图象是折线段ABC,其中,,,
当经过点A,B时,即为,,
当经过点B,C时,即为,,
设函数的图象与x轴围成的图形的面积为S,
1
先求出函数的解析式,再利用定积分可求得函数的图象与x轴围成的图形的面积.
本题考查函数的图象,着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用,考查分析运算能力,属于中档题.
【考点】不等式比较大小
∵函数在R上单调递增,
又,.
故选C.
利用函数在R上单调性即可得出.
熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键.
【答案】C
【考点】正整数指数函数
令x=0,则,即图象过点,排除C、D;
令x=1,则,故排除A
故选B
先利用函数图象过点,排除选项CD,再利用当x=1时,函数值小于1的特点,排除A,从而选B
本题主要考查了指数函数的图象和性质,利用特殊性质、特殊值,通过排除法解图象选择题的方法和技巧,属基础题
【答案】B
【考点】一次函数的性质与图象
由题意可得函数的对称轴在的右侧,
,解得.
故选:
D.
判断函数的对称轴在的右侧,推出,解不等式求得实数a的取值范围.
本题主要考查二次函数的性质的应用,得到是解题的关键,属于基础题.
【答案】D
由题意:
根据对数性质有:
根据对数的性质得:
将M化为以10为底的指数形式,计算即可.
本题考查了指数形式与对数形式的互化问题,是基础题.
【分析】
运用作差法,再对a讨论,,,判断差的符号,即可得到所求大小关系.
本题考查两式的大小比较,注意运用作差法,考查分类讨论思想方法,以及运算能力,属于基础题.
【答案】解:
当时,,,
则,即;
则,即.
综上可得时,;
时,.
【考点】并集及其运算
由分式不等式的解法和指数方程化简集合A,B,再由集合的包含关系,可得a的范围.
本题考查集合的化简和运算,注意运用分式不等式的解法和指数方程的解法,考查集合并集的性质,以及运算能力,属于中档题.
集合,
由,可得,
即有,
解得.
则a的取值范围是.
【考点】函数的单调性及单调区间
根据题意,设,作差分析可得,结合,分析可得,由函数单调性的定义,分析可得答案.
本题考查函数单调性的判断,关键是掌握定义法证明函数单调性的步骤.
根据题意,函数在区间上单调递增,
证明如下:
设,
又由,
则,,,,
则有,
则函数在区间上单调递增.
【考点】已知三角函数模型的应用问题
,可得的解析式.
(2)平方利用基本不等式的性质即可得出.
本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
,.
即,当且仅当时取等号.
∴截取时,才能使矩形材料的面积最大,最大面积为.
【考点】函数的最值及其几何意义,分段函数的解析式求法及其图象的作法
(1)联立与,从而可求出参数a、b的值;
(2)利用或,结合的解析式即可求出实数x的值;
(3)化简的解析式,结合基本不等式可得结论.
本题考查考查了的对数的运算及对数函数的应用,同时还考查了基本不等式的应用,注意解题方法的积累,属于中档题.
(1)由题可知:
解得:
a=2,,
所以,;
(2)由可知或,
又由
(1)可知或,
x=2或;
(3)由
(1)可知
当且仅当即x=1时取等号,
所以,当x=1时取得最小值1.