分类加法计数原理与分步乘法计数原理理带答案Word文件下载.docx

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“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C＝4（个）四位数．

“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C＝6（个）四位数．

“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C＝4（个）四位数．

综上所述，共可组成14个这样的四位数.

题型一　分类加法计数原理的应用

例1　一班有学生50人，男生30人，女生20人；

二班有学生60人，男生30人，女生30人；

三班有学生55人，男生35人，女生20人．

（1）从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？

（2）从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？

思维启迪　用分类加法计数原理．

解　

（1）完成这件事有三类方法

第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；

第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；

第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，

根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165（种）选法．

（2）完成这件事有三类方法

第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；

第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；

第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．

综上知，共有30＋30＋20＝80（种）选法．

思维升华　分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；

其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．

（1）在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

（2）方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？

解　

（1）分析个位数字，可分以下几类：

个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个；

个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；

同理，个位是7的有6个；

个位是6的有5个；

…

个位是2的只有1个．

由分类加法计数原理，满足条件的两位数有

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）．

（2）以m的值为标准分类，分为五类．

第一类：

m＝1时，使n>

m，n有6种选择；

第二类：

m＝2时，使n>

m，n有5种选择；

第三类：

m＝3时，使n>

m，n有4种选择；

第四类：

m＝4时，使n>

m，n有3种选择；

第五类：

m＝5时，使n>

m，n有2种选择．

∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20（种）方法，

即有20个符合题意的椭圆．

题型二　分步乘法计数原理的应用

例2　有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？

（不一定六名同学都能参加）

（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；

（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；

（3）每项限报一人，但每人参加的项目不限．

思维启迪　可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．

解　

（1）每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，

知共有选法36＝729（种）．

（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×

5×

4＝120（种）．

（3）由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216（种）．

思维升华　利用分步乘法计数原理解决问题：

①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；

②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

　已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：

（1）y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；

（2）y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．

解　

（1）a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×

6×

6＝180（个）不同的二次函数．

（2）y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×

6＝72（个）图象开口向上的二次函数．

题型三　两个原理的综合应用

例3　如图所示，将一个四棱锥的每

一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．

思维启迪　染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．

解　方法一　可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×

4×

3＝60（种）染色方法．

当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；

若C染4，则D可染3或5，有2种染法；

若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×

7＝420（种）．

方法二　以S、A、B、C、D顺序分步染色．

第一步，S点染色，有5种方法；

第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；

第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；

第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；

当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×

（1×

3＋2×

2）＝420（种）．

方法三　按所用颜色种数分类．

第一类，5种颜色全用，共有A种不同的方法；

第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色（A与C，或B与D），共有2×

A种不同的方法；

第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A种不同的方法．

由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为

A＋2×

A＋A＝420（种）．

思维升华　用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．

（1）分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

（2）分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

（3）对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．

　用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

解　如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5

种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．

①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A＝12（种）不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步乘法计数原理可知，有5×

12×

3＝180（种）不同的涂法；

②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知．有5×

4＝80（种）不同的涂法．

由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260（种）不同的涂法．

A组　专项基础训练

一、选择题

1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（　　）

A．3B．4C．6D．8

解析　按从小到大顺序有124,139,248,469共4个，同理按从大到小顺序也有4个，故这样的等比数列的个数为8个．

2.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的

两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（　　）

A．24种B．30种C．36种D．48种

解析　共有4×

2＝48（种），故选D.

3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对（x，y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数是（　　）

A．9B．14C．15D．21

解析　当x＝2时，x≠y，点的个数为1×

7＝7（个）；

当x≠2时，x＝y，点的个数为7×

1＝7（个），则共有14个点，故选B.

4．（2013·

山东）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　）

A．243B．252C．261D．279

解析　0,1,2，…，9共能组成9×

10×

10＝900（个）三位数，其中无重复数字的三位数有9×

9×

8＝648（个）．

∴有重复数字的三位数有900－648＝252（个）．

5．（2013·

四川）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是（　　）

A．9B．10C．18D．20

解析　由于lga－lgb＝lg（a>

0，b>

0），从1,3,5,7,9中任取两个作为有A＝20种，又与相同，与相同，∴lga－lgb的不同值的个数有A－2＝20－2＝18，选C.

二、填空题

6．一个乒乓球队里有男队员5名，女队员4名，从中选取男、女队员各一名组成混合双打，共有________种不同的选法．答案　20

解析　先选男队员，有5种选法，再选女队员有4种选法，由分步乘法计数原理知共有5×

4＝20（种）不同的选法．

7．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________（用数字作答）．答案　7200

解析　其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×

20×

12＝7200.

8．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这