版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形46正弦定理余弦定理教师用书文北师大版文档格式.docx

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A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinA<

a<

b

a≥b

a>

解的个数

一解

两解

3.三角形常用面积公式

（1）S＝a·

ha（ha表示边a上的高）；

（2）S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；

（3）S＝r（a＋b＋c）（r为三角形内切圆半径）．

【知识拓展】

1．三角形内角和定理

在△ABC中，A＋B＋C＝π；

变形：

＝－.

2．三角形中的三角函数关系

（1）sin（A＋B）＝sinC；

（2）cos（A＋B）＝－cosC；

（3）sin＝cos；

（4）cos＝sin.

3．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；

b＝acosC＋ccosA；

c＝bcosA＋acosB.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．（　×

　）

（2）在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.（　√　）

（3）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．（　×

（4）当b2＋c2－a2>

0时，三角形ABC为锐角三角形．（　×

（5）在△ABC中，＝.（　√　）

（6）在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．（　√　）

1．（2016·

天津）在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°

，则AC等于（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　A

解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·

BC·

cosC，即13＝AC2＋9－2AC×

3×

cos120°

，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4（舍去）．故选A.

2．（教材改编）在△ABC中，A＝60°

，B＝75°

，a＝10，则c等于（　　）

A．5B．10C.D．5

答案　C

解析　由A＋B＋C＝180°

，知C＝45°

，

由正弦定理得＝，即＝，

∴c＝.

3．（2016·

江西吉安一中质检）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<

cosA，则△ABC为（　　）

A．钝角三角形B．直角三角形

C．锐角三角形D．等边三角形

解析　因为<

cosA，由正弦定理得<

cosA，

因为B∈（0，π），所以sinB>

0，

所以sinC<

sinBcosA，

又C＝π－（A＋B），可得sin（A＋B）<

即sinAcosB<

则cosB<

0，所以B∈（，π），

即△ABC为钝角三角形，故选A.

4．（2016·

辽宁五校联考）设△ABC的内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝.

答案　

解析　因为3sinA＝5sinB，

所以由正弦定理可得3a＝5b.

因为b＋c＝2a，所以c＝2a－a＝a.

令a＝5，b＝3，c＝7，

则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，

得49＝25＋9－2×

5cosC，

解得cosC＝－，所以C＝.

5．（2016·

济南模拟）在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为．

答案　4

解析　∵cosC＝，0<

C<

π，

∴sinC＝，

∴S△ABC＝absinC

＝×

2×

＝4.

题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1　

（1）（2015·

广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝.

答案　1

解析　因为sinB＝且B∈（0，π），所以B＝或B＝.

又C＝，B＋C<

π，所以B＝，A＝π－B－C＝.

又a＝，由正弦定理得＝，即＝，

解得b＝1.

（2）（2016·

四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.

①证明：

sinAsinB＝sinC；

②若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.

①证明　根据正弦定理，可设

＝＝＝k（k>

0），

则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，

代入＋＝中，有

＋＝，变形可得

sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin（A＋B）．

在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC．所以sinAsinB＝sinC.

②解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有

cosA＝＝，

所以sinA＝＝.

由

（1）知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，

所以sinB＝cosB＋sinB.

故tanB＝＝4.

思维升华　应用正弦、余弦定理的解题技巧

（1）求边：

利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．

（2）求角：

先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA＝，sinB＝，sinC＝或其他相应变形公式求解．

（3）已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．

（4）灵活利用式子的特点转化：

如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．

（1）△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则等于（　　）

A．2B．2C.D.

（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin（A－C）＝2cosAsinC，则b等于（　　）

A．6B．4C．2D．1

答案　

（1）D　

（2）C

解析　

（1）（边化角）

由asinAsinB＋bcos2A＝a及正弦定理，得

sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝sinA，

即sinB＝sinA，所以＝＝.故选D.

（2）（角化边）

由题意，得sinAcosC－cosAsinC＝2cosAsinC，

即sinAcosC＝3cosAsinC，

由正弦、余弦定理，得

a·

＝3c·

整理得2（a2－c2）＝b2，①

又a2－c2＝b，②

联立①②得b＝2，故选C.

题型二　和三角形面积有关的问题

例2　（2016·

浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.

（1）证明：

A＝2B；

（2）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．

（1）证明　由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin（A＋B）＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，

于是sinB＝sin（A－B）．

又A，B∈（0，π），故0＜A－B＜π，所以B＝π－（A－B）或B＝A－B，

因此A＝π（舍去）或A＝2B，所以A＝2B.

（2）解　由S＝，得absinC＝，

故有sinBsinC＝sinA＝sin2B＝sinBcosB，

由sinB≠0，得sinC＝cosB.

又B，C∈（0，π），所以C＝±

B.

当B＋C＝时，A＝；

当C－B＝时，A＝.

综上，A＝或A＝.

思维升华　

（1）对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝（a－b）2＋6，C＝，则△ABC的面积是（　　）

A．3B.C.D．3

解析　∵c2＝（a－b）2＋6，

∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①

∵C＝，

∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②

由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.

∴S△ABC＝absinC＝×

6×

＝.

题型三　正弦定理、余弦定理的简单应用

命题点1　判断三角形的形状

例3　

（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<

（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不确定

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）由<

cosA，得<

即sin（A＋B）<

所以sinAcosB<

因为在三角形中sinA>

0，所以cosB<

即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．

（2）由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，

∴sin（B＋C）＝sin2A，

即sin（π－A）＝sin2A，sinA＝sin2A.

∵A∈（0，π），∴sinA>

0，∴sinA＝1，

即A＝，∴△ABC为直角三角形．

引申探究

1．例3

（2）中，若将条件变为2sinAcosB＝sinC，判断△ABC的形状．

解　∵2sinAcosB＝sinC＝sin（A＋B），

∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosBsinA，

∴sin（A－B）＝0，

又A，B为△ABC的内角．

∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．

2．例3

（2）中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判断△ABC的形状．

解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，

又0<

π，∴C＝，

又由2cosAsinB＝sinC得sin（B－A）＝0，∴A＝B，

故△ABC为等边三角形．

命题点2　求解几何计算问题

例4　（2015·

课标全国Ⅱ）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

解　

（1）S△ABD＝AB·

ADsin∠BAD，

S△ADC＝AC·

ADsin∠CAD.

因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，

所以AB＝2AC.

由正弦定理可得＝＝.

（2）因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.

在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知

AB2＝AD2＋BD2－2AD·

BDcos∠ADB，

AC2＝AD2＋DC2－2AD·

DCcos∠ADC.

故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，