初中经典几何证明练习题含答案Word下载.docx

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作正三角形ADM，连接MP

∵∠MAD=60°

，∠PAD=15°

∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°

∵∠BAD=90°

∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°

-15°

=75°

∴∠BAP=∠MAP

∵MA=BA，AP=AP

∴△MAP≌△BAP

∴∠BPA=∠MPA，MP=BP

同理∠CPD=∠MPD，MP=CP

∵∠PAD＝∠PDA＝15°

∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°

∵BA=CD

∴△BAP≌∠CDP

∴∠BPA=∠CPD

∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD

∴∠MPA=∠MPD=75°

∴∠BPC=360°

-75°

×

4=60°

∵MP=BP，MP=CP 

∴BP=CP 

∴△BPC是正三角形

3、已知：

如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

∠DEN＝∠F．

证明:

连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG

∵CN=DN，CG=DG

∴GN∥AD，GN=

AD

∴∠DEN=∠GNM

∵AM=BM，AG=CG

∴GM∥BC，GM=

BC

∴∠F=∠GMN

∵AD=BC

∴GN=GM

∴∠GMN=∠GNM

∴∠DEN=∠F

经典题

（二）

△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

（1）求证：

AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：

AH＝AO．（初二）

（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G

∵OG⊥AF

∴AG=FG

∵

∴∠F=∠ACB

又AD⊥BC，BE⊥AC

∴∠BHD+∠DBH=90°

∠ACB+∠DBH=90°

∴∠ACB=∠BHD

∴∠F=∠BHD

∴BH=BF又AD⊥BC

∴DH=DF

∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD

又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD

∴四边形OMDG是矩形

∴OM=GD 

∴AH=2OM

（2）连接OB、OC

∵∠BAC=60∴∠BOC=120°

∵OB=OC，OM⊥BC

∴∠BOM=

∠BOC=60°

∴∠OBM=30°

∴BO=2OM

由

（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO

2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P.

AP＝AQ．

作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF

∵AG⊥PQ∴∠PAG=∠QAG=90°

又∠GAE=∠GAF 

∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF

即∠PAE=∠QAF

∵E、F、C、D四点共圆

∴∠AEF+∠FCQ=180°

∵EF⊥AG，PQ⊥AG

∴EF∥PQ

∴∠PAF=∠AFE

∵AF=AE

∴∠AFE=∠AEF

在△AEP和△AFQ中

∠AFQ=∠AEP

AF=AE

∠QAF=∠PAE

∴△AEP≌△AFQ

∴AP=AQ

∴∠AEF=∠PAF

∵∠PAF+∠QAF=180°

∴∠FCQ=∠QAF

∴F、C、A、Q四点共圆

∴∠AFQ=∠ACQ

又∠AEP=∠ACQ

∴∠AFQ=∠AEP

3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．

AP＝AQ．（初二）

作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG

∴DG=DH

∴点D在∠APC的角平分线上

∴∠DPA＝∠DPC

经典题（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：

≤L＜2．

（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°

的△BEF，连接PE，

∵BP=BE，∠PBE=60°

∴△PBE是正三角形。

∴PE=PB又EF=PC

∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF

当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图）

在△ABF中，∠ABP=120°

∴AF=

∴L=PA+PB+PC≤

（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G

则△ADG是正三角形

∴∠ADP=∠AGP，AG=DG

∵∠APD＞∠AGP

∴∠APD＞∠ADP

∴AD＞PA…………………………①

又BD+PD＞PB……………………②

CG+PG＞PC……………………③

①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC

∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L

∵AB=AC=1∴L＜2

由

（1）

（2）可知：

P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

解：

将△BCP绕点B顺时针旋转60°

得△BEF，连接PE，

则△BPE是正三角形

∴PE=PB

∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EF

∴要使PA＋PB＋PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）

此时AF=PA+PE+EF

过点F作FG⊥AB的延长线于G

则∠GBF=180°

-∠ABF=180°

-150°

=30°

∴GF=

，BG=

∴PA＋PB＋PC的最小值是

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

将△ABP绕点B顺时针旋转90°

得△BCQ，连接PQ

则△BPQ是等腰直角三角形，

∴PQ=

PB=

2a=2

a

又QC=AP=a

∴QP2+QC2=（2

a）2+a2=9a2=PC2

∴△PQC是直角三角形

∴∠BQC=135°

∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·

CQ·

cos∠BQC

=PB2+PA2-2PB·

PAcos135°

=4a2+a2-2×

2a×

a×

（-

）

解得BC=

∴正方形的边长为

4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°

，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°

，∠EBA＝20°

，求∠BED的度数．

在AB上取一点F，使∠BCF=60°

，CF交BE于G，连接EF、DG

∵∠ABC=80°

，∠ABE=20°

，∴∠EBC=60°

，又∠BCG=60°

∴△BCG是正三角形∴BG=BC

∵∠ACB=80°

，∠BCG=60°

∴∠FCA=20°

∴∠EBA=∠FCA

又∵∠A=∠A，AB=AC∴△ABE≌ACF 

∴AE=AF

∴∠AFE=∠AEF=

（180°

-∠A）=80°

又∵∠ABC=80°

=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60°

∴△EFG是等边三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°

∵ACB=80°

，∠DCA=30°

∴∠BCD=50°

∴∠BDC=180°

-∠BCD-∠ABC=180°

-50°

-80°

=50°

∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG

∠BGD=∠BDG=

-∠ABE）=80°

∴∠FGD=180°

-∠BGD-∠EGF=180°

-60°

=40°

又∠DFG=180°

-∠AFE-∠EFG=180°

∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG，DE=DE∴△EFD≌△EGD

∴∠BED=∠FED=

∠FEG=

60°

5、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，若AC=6，BC=8，求线段PD的长。

∵∠ACD=∠BCD 

∴

∴AD=BD

∵AB为⊙O的直径 

∴∠ADB=90°

∴△ABD是等腰直角三角形

∵∠ACB=90°

，AC=6，BC=8 

∴AB=10

∴AD=AB·

cos∠DAB=10×

=5

又AE⊥CD，∠ACD=45°

∴△ACE是等腰直角三角形 

∴CE=AE=AC·

cos∠CAE=6×

=3

在△ADE中，DE2=AD2-AE2 

∴DE2=

∴DE=

∴CD=CE+DE=3

+

∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P∴△PDA∽△PCD∴

∴PC=

PD，PA=

PD 

∵PC=PA+AC∴

PD=

PD+6 

解得PD=