高考数学理科一函数与方程思想数形结合思想文档格式.docx

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1），则g′（x）＝.

又0<

1，∴g′（x）<

0，

∴函数g（x）在（0，1）上是减函数.

1，∴g（x1）>

g（x2），

∴，故选C.

2.已知定义在R上的函数g（x）的导函数为g′（x），满足g′（x）－g（x）<

0，若函数g（x）的图象关于直线x＝2对称，且g（4）＝1，则不等式>

1的解集为________.

答案　（－∞，0）

解析　∵函数g（x）的图象关于直线x＝2对称，

∴g（0）＝g（4）＝1.

设f（x）＝，

则f′（x）＝＝.

又g′（x）－g（x）<

0，∴f′（x）<

∴f（x）在R上单调递减.

又f（0）＝＝1，∴f（x）>

f（0），∴x<

0.

3.已知f（t）＝log2t，t∈[，8]，对于f（t）值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>

2m＋4x恒成立，则x的取值范围是__________________.

答案　（－∞，－1）∪（2，＋∞）

解析　∵t∈[，8]，∴f（t）∈.

问题转化为m（x－2）＋（x－2）2>

0恒成立，

当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.

令g（m）＝m（x－2）＋（x－2）2，m∈.

问题转化为g（m）在上恒大于0，

则即

解得x>

2或x<

－1.

4.若x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是______.

答案　[－6，－2]

解析　当－2≤x<

0时，不等式转化为a≤.

令f（x）＝（－2≤x<

0），

则f′（x）＝＝，

故f（x）在[－2，－1]上单调递减，在（－1，0）上单调递增，

此时有a≤f（x）min＝f（－1）＝＝－2.

当x＝0时，不等式恒成立.

当0<

x≤1时，a≥，

则f（x）在（0，1]上单调递增，此时有a≥f（x）max＝f

（1）＝＝－6.

综上，实数a的取值范围是[－6，－2].

二、函数与方程思想在数列中的应用

数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；

等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程（组）来解决.

5.已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d等于（　　）

A.－B.－　C.D.

答案　D

解析　设等差数列的首项为a1，公差为d，则即

解得d＝.

6.已知在数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝an，则的最大值为（　　）

A.－3B.－1C.3D.1

解析　当n≥2时，Sn＝an，Sn－1＝an－1，

两式作差可得an＝an－an－1，

即＝＝1＋.

由函数y＝1＋在（1，＋∞）上是减函数，可得在n＝2时取得最大值3.

7.在等差数列{an}中，若a1<

0，Sn为其前n项和，且S7＝S17，则Sn取最小值时n的值为____.

答案　12

解析　由已知得，等差数列{an}的公差d>

0，

设Sn＝f（n），则f（n）为二次函数，

又由f（7）＝f（17）知，f（n）的图象开口向上，关于直线n＝12对称，

故Sn取最小值时n的值为12.

8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－2，S6＝3，则nSn的最小值为________.

答案　－9

解析　由解得a1＝－2，d＝1，

所以Sn＝，故nSn＝.

令f（x）＝，则f′（x）＝x2－5x，

令f′（x）＝0，得x＝0或x＝，

∴f（x）在上单调递减，在上单调递增.

又∵n是正整数，故当n＝3时，nSn取得最小值－9.

三、函数与方程思想在解析几何中的应用

解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程（组）的思想；

直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；

求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答.

9.（2016·

全国Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（　　）

A.2B.4C.6D.8

答案　B

解析　不妨设抛物线C：

y2＝2px（p>

0），圆的方程设为x2＋y2＝r2（r>

0），如图，

又可设A（x0，2），D，

点A（x0，2）在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①

点A（x0，2）在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②

点D在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋2＝r2，③

联立①②③，解得p＝4（负值舍去），即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.

10.如图，已知双曲线C：

－＝1（a>

0，b>

0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若∠PAQ＝60°

，且＝3，则双曲线C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

解析　因为∠PAQ＝60°

，|AP|＝|AQ|，

所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，设|AQ|＝2R，

又＝3，则|OP|＝|PQ|＝R.

双曲线C的渐近线方程是y＝x，A（a，0），

所以点A到直线y＝x的距离d＝＝，

所以2＝（2R）2－R2＝3R2，

即a2b2＝3R2（a2＋b2），

在△OQA中，由余弦定理得，

|OA|2＝|OQ|2＋|QA|2－2|OQ||QA|cos60°

＝（3R）2＋（2R）2－2×

3R×

2R×

＝7R2＝a2.

由得

所以双曲线C的离心率为e＝＝＝＝＝＝.

11.设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y＝kx（k>

0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点.若＝6，则k的值为________.

答案　或

解析　依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx（k>

0）.如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1<

x2，且x1，x2满足方程（1＋4k2）x2＝4，故x2＝－x1＝.

由＝6知，x0－x1＝6（x2－x0），

得x0＝（6x2＋x1）＝x2＝.

由点D在AB上知x0＋2kx0＝2，得x0＝.

所以＝，

化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.

12.已知直线l：

y＝k（x＋1）与抛物线C：

y2＝4x交于不同的两点A，B，且以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F，则k＝________.

答案　或－

解析　点F的坐标为（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1＝k（x1＋1），y2＝k（x2＋1），

当k＝0时，l与C只有一个交点，不合题意，因此k≠0.

将y＝k（x＋1）代入y2＝4x，

消去y，得k2x2＋2（k2－2）x＋k2＝0，①

依题意知，x1，x2是①的不相等的两个实根，

则

由以AB为直径的圆过F，得AF⊥BF，

即kAF·

kBF＝－1，

所以·

＝－1，即x1x2＋y1y2－（x1＋x2）＋1＝0，

所以x1x2＋k2（x1＋1）（x2＋1）－（x1＋x2）＋1＝0，

所以（1＋k2）x1x2＋（k2－1）（x1＋x2）＋1＋k2＝0，③

把x1＋x2＝，x1x2＝1代入③得2k2－1＝0，解得k＝±

，

经检验k＝±

适合②式.

综上所述，k＝±

.

一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用

讨论方程的解（或函数零点）的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.

1.（2018·

咸阳模拟）函数f（x）＝2x－的零点个数为（　　）

A.0B.1　C.2D.3

解析　在同一平面直角坐标系下，作出函数y1＝2x和y2＝的图象，如图所示.

函数f（x）＝2x－的零点个数等价于2x＝的根的个数，

等价于函数y1＝2x和y2＝图象的交点个数.

由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B.

2.若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________.

答案　

解析　x＝0是方程的一个实数解；

当x≠0时，方程＝kx2

可化为＝（x＋4）|x|，x≠－4，k≠0，

设f（x）＝（x＋4）|x|（x≠－4且x≠0），y＝，

则两函数图象有三个非零交点.

f（x）＝（x＋4）|x|＝的大致图象如图所示，

由图可得0<

<

4，解得k>

所以k的取值范围为.

3.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（－x－1）＝f（x－1），当x∈[－1，0]时，f（x）＝－x3，则关于x的方程f（x）＝|cosπx|在上的所有实数解之和为________.

答案　－7

解析　因为函数f（x）为偶函数，所以f（－x－1）＝f（x＋1）＝f（x－1），所以函数f（x）的周期为2.

又当x∈[－1，0]时，f（x）＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1＝f（x）与y2＝|cosπx|的图象如图所示.

由图象知关于x的方程f（x）＝|cosπx|在上的实数解有7个.

不妨设x1<

x3<

x4<

x5<

x6<

x7，

则由图得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，

所以方程f（x）＝|cosπx|在上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.

4.（2018·

石嘴山模拟）已知函数f（x）则方程f（x）＝ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是________.

解析　画出函数f（x）的图象如图所示，由图可知，要使直线y＝ax与函数f（x）有两个交点，当y＝ax与y＝＋1平行时，显然有两个交点，此时a＝.当a>

时，只需求出当直线y＝ax和曲线y＝lnx相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a的取值范围是.

二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用

构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.

5.（2018·

全国Ⅰ）设函数f（x）＝则满足f（x＋1）＜f（2x）的x的取值范围是（　　）

A.（－∞，－1]B.（0，＋∞）

C.（－1，0）D.（－∞，0）

解析　方法一　①当即x≤－1时，

f（x＋1）＜f（2x）即为2－（x＋1）＜2－2x，即－（x＋1）＜－2x，解得x＜1.

因此不等式的解集为（－∞，－1].

②当时，不等式组无解.

③