最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数的诱导公式》示范教案2Word格式文档下载.docx
《最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数的诱导公式》示范教案2Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数的诱导公式》示范教案2Word格式文档下载.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
导入新课
思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.
②复习诱导公式一及其用途.
思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°
到360°
(0到2π)内的角的三角函数值;
求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得;
对于90°
(到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.
推进新课
由公式一把任意角α转化为[0°
,360°
)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值?
活动:
在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:
0°
到90°
的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?
90°
的角β能否与锐角α相联系?
通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:
若能把求[90°
)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.
讨论结果:
通过分析,归纳得出:
如图1.
图1
β=
①锐角α的终边与180°
+α角的终边位置关系如何?
②它们与单位圆的交点的位置关系如何?
③任意角α与180°
+α呢?
分α为锐角和任意角作图分析:
如图2.
图2
引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.
无论α为锐角还是任意角,180°
+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°
+α为研究对象.
利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P1(x,y)和P2(-x,-y).
指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:
sin(180°
+α)=-sinα,cos(180°
+α)=-cosα.
并指导学生写出角为弧度时的关系式:
sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.
引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.
+α角的终边互为反向延长线.
②它们与单位圆的交点关于原点对称.
+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.
①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么?
②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:
任意角α和-α的终边的位置关系;
它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,
即sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.
教师点拨学生注意:
无论α是锐角还是任意角,公式均成立,并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:
可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.
①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦及正切.
②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.
①下一步的研究对象是什么?
②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:
任意角α和π-α的终边的位置关系;
它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,
即sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.
强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.
引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:
可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.
让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.
我们可以用下面一段话来概括公式一~四:
α+k·
2π(k∈Z),-α,π±
α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
进一步简记为:
“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.
①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;
②π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.
思路1
例1利用公式求下列三角函数值:
(1)cos225°
;
(2)sin;
(3)sin(-);
(4)cos(-2040°
).
这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.
解:
=cos(180°
+45°
)=-cos45°
=-;
(2)sin=sin(4π-)=-sin=-;
(3)sin(-)=-sin=-sin(5π+)
=-(-sin)=;
)=cos2040°
=cos(6×
360°
-120°
)
=cos120°
-60°
=-cos60°
=-.
点评:
利用公式一~四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:
上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.
变式训练
利用公式求下列三角函数值:
(1)cos(-510°
15′);
(2)sin(-π).
15′)=cos510°
15′
=cos(360°
+150°
15′)
=cos150°
15′=cos(180°
-29°
45′)
=-cos29°
45′=-0.8682;
(2)sin(-π)=sin(-3×
2π)=sin=.
例2cos330°
等于()
A.B.-
C.D.-
答案:
C
化简:
.
=
====-1.
例3化简cos315°
+sin(-30°
)+sin225°
+cos480°
这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.
cos315°
-45°
)-sin30°
+sin(180°
)+cos(360°
+120°
=cos(-45°
)--sin45°
+cos120°
=cos45°
--+cos(180°
=---cos60°
=-1.
利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.
求证:
=tanθ.
分析:
利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.
证明:
左边=
===tanθ=右边.
所以原式成立.
规律总结:
证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.
课本本节练习1~3.
解答:
1.
(1)-cos;
(2)-sin1;
(3)-sin;
(4)cos70°
6′.
利用诱导公式转化为锐角三角函数.
2.
(1);
(2);
(3)0.6428;
(4)-.
先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.
3.
(1)-sin2αcosα;
(2)sin4α.
先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.
本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.
课本习题1.3A组2、3、4.
一、有关角的终边的对称性
(1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称.
(2)角α的终边与角-α的终边关于x轴对称.
(3)角α的终边与角π-α的终边关于y轴对称.
二、三角函数的诱导公式应注意的问题
(1)α+k·
α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号;
可简单记忆为:
“函数名不变,符号看象限.”
(2)公式中的α是任意角.
(3)利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.
基本步骤是:
任意负角的三角函数相应的正角的三角函数0到2π角的三角函数锐角的三角函数三角函数.
即负化正,大化小,化为锐角再查表.
第2课时
上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题.
终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系?
我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系.
教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系,关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.
如图3,设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),由于角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,角-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称,因此点P2的坐标是(y,x),于是,我们有
图3
sinα=y,cosα=x,
cos(-α)=y,sin(-α)=x.
从而得到公式五:
cos(-α)=sinα,
sin(-α)=cosα.
能否用已有公式得出