高等数学复习题及参考答案Word下载.docx
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20．微分方程的通解为。
21.当n=时，方程为一阶线性微分方程。
22.若阶矩阵的行列式为是的伴随矩阵,则。
23.设A与B均可逆，则C=也可逆，且＝。
24.设，且，则X=。
25.矩阵的秩为。
26.向量,其内积为。
27.n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是。
28.给定向量组，若线性相关，则a，b满足关系式。
29.已知向量组（Ⅰ）与由向量组（Ⅱ）可相互线性表示，则r（Ⅰ）与r（Ⅱ）之间向量个数的大小关系是。
30.向量=（2,1）T可以用=（0,1）T与=（1,3）T线性表示为。
31.方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的条件。
32.设A为m×
n矩阵,非齐次线性方程组b有唯一解的充要条件是r（A）r（A|b）=。
33.已知元线性方程组有解，且，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为。
34.设是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组的都是A的属于的特征向量.
35.若3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，则的特征值为
36.设A是n阶方阵，|A|≠0,为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值,则必有特征值λ=。
37.，分别为实对称矩阵A的两个不同特征值所对应的特征向量,则与的内积（,）=。
38.二次型的秩为。
39.矩阵为正定矩阵,则的取值范围是。
40.二次型是正定的,则的取值范围是。
41.A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为。
42.事件A、B相互独立，且知则。
43.若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为。
44.在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6，那么击中目标k次的概率为（）。
45.设随机变量X服从泊松分布，且，则=。
46.设随机变量X的分布密度为，则=。
47.若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为：
Y
X
1
2
1/16
3/16
b
且X，Y相互独立，则常数=,b=。
48.设X的分布密度为，则的分布密度为。
49.二维随机变量（X，Y）的联合分布律为：
0.2
0.3
则与应满足的条件是，当X，Y相互独立时，＝。
50.设随机变量X与Y相互独立，且。
令Z=-Y+2X+3，则=。
51.已知随机变量X的数学期望.令Y＝2X－3，则=。
二、单项选择题：
1.设，则=[]
A.xB.x+1C.x+2D.x+3
2.下列函数中，（）不是基本初等函数。
[]
A.B.C.D.
3.下列各对函数中，（）中的两个函数相等。
[]
A.与B.与
C.与D.与
4.设在处间断，则有[]
A.在处一定没有意义；
B.;
（即）；
C.不存在，或；
D.若在处有定义，则时，不是无穷小
5.函数在x=0处连续，则k=[]
A.-2B.-1C.1D.2
6.若，为无穷间断点，为可去间断点，则[]
A.1B.0C.eD.e-1
7.函数的定义域为[]
A.B.C.D.
8.二重极限[]
A.等于0B.等于1C.等于D.不存在
9.利用变量替换，一定可以把方程化为新的方程[]
A.B.C.D.
10．若，在内则在内[]
A.B.
C.D.
11.设的某个邻域内连续,且,,则在点处[]
A.不可导B.可导,且C.取得极大值D.取得极小值
12.设函数是大于零的可导函数，且，则当时，有[]
A.B.
C.D.
13.[]
14.设上具有连续导数，且，则[]
A.2B.1C.-1D.-2
15.设上二阶可导，且记
，，，则有[]
16.设幂级数在处收敛，则此级数在处[]
A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性不能确定
17.下列命题中,正确的是[]
A.若级数的一般项有则有
B.若正项级数满足发散
C.若正项级数收敛，则
D.若幂级数的收敛半径为，则.
18.设级数收敛，则级数[]
A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定
19.微分方程的通解是[]
20.设满足微分方程，若，则函数在点[]
A.取极大值B.取极小值C.附近单调增加D.附近单调减少.
21.函数在点处的增量满足且，则（D）[]
A.B.C.D.
22.若含有s个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r，则必有[]
A.r=sB.r>
sC.r=s+1D.r<
s
23.已知向量组线性相关,则=[]
24.向量组线性相关的充分必要条件是[]
A.中含有零向量
B.中有两个向量的对应分量成比例
C.中每一个向量都可由其余个向量线性表示
D.中至少有一个向量可由其余个向量线性表示
25.对于向量组，因为，所以是[]
A.全为零向量B.线性相关C.线性无关D.任意
26.设A，B均为n阶矩阵，且AB=O，则必有[]
A.A=O或B=OB.|A|=0或|B|=0C.A+B=OD.|A|+|B|=0
27.若非齐次线性方程组Am×
nX=b的（），那么该方程组无解[]
A.秩（A）＝nB.秩（A）＝mC.秩（A）秩（）D.秩（A）=秩（）
28.若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（）时线性方程组有无穷多解。
A.1B.4C.2D.
29.设λ=2是非奇异矩阵A的特征值,则有一个特征值是[]
A.B.C.D.
30.若二次型正定，则[]
A.B.C.D.
31.已知是矩阵的特征向量,则=[]
A.1或2B.-1或-2C.1或-2D.-1或2
32.在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为[]
33.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为[]
34.设A、B互为对立事件，且则下列各式中错误的是[]
35.离散型随机变量X的分布列为P{X=k}=,k=1,2,3,4.则[]
A.0.05B.0.1C.0.2D.0.25
36.设随机变量X的分布函数为则=[]
A.B.C.D.
37.设随机变量X服从，的值[]
A.随增大而减小B.随增大而增大C.随增大而不变D.随减少而增大.
38.设随机变量，则服从[]
39.对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次
射击的命中率等于[]
A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4
40.设随机变量X的概率密度为，则=[]
A.-1B.0C.1D.以上结论均不正确
三、解答题：
1.设，已知在处连续可导，
试确立并求
2.设，其中具有二阶连续偏导数，求。
3.设讨论f（x,y）在（0，0）
（1）偏导数是否存在。
（2）是否可微。
4.在过点的所有平面中,求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。
5.
6.，其中为圆域。
7.设在上连续，求证：
。
证明：
8.求幂级数收敛区间及和函数：
9.求解。
10.求解。
11.求解满足。
12.求解满足。
13.设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定，并求该方程的通解。
14.计算下列行列式。
15.计算下列行列式。
16.证明：
17.设AX+E=A2+X，且A=，求X。
18.已知矩阵，求常数a，b。
19.将向量表示成的线性组合：
（1）
20.问，取何值时，齐次方程组
有非零解？
21.设线性方程组
试问c为何值时，方程组有解？
若方程组有解时，求一般解。
22.求一个正交变换化下列二次型为标准型：
23.某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在1小时内：
（1）有机床需要工人照管的概率；
（2）机床因无人照管而停工的概率？
24.设随机变量X的分布密度为求：
（1）常数A；
（2）X的分布函数；
25.设二维随机变量（X，Y）在区域内服从均匀分布。
求：
（1）（X，Y）的联合分布密度；
（2）X与Y的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？
26.设X，Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
求随机变量Z＝X＋Y的概率密度函数。
27.某工厂生产的一种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，密度函数为
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望。
28.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布，X与Y的相关系数,求Z的数学期望和方差；
参考答案
解：
的定义域为，且有
即是偶函数，故图形关于轴对称。
2.若，则
注意：
（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）
，其中=1是第一个重要极限。
4.已知，则_____,_____。
由所给极限存在知,,得,又由
知
，
时，
，，，
不是,不是不是
负定，极大值（，）
10.设则。
因为，故
11.。
原式
.
12.。
答案：
∵
∴
则由估值不等式得
，又
由，
∴
15.设由围成（），则在直角坐标系下的两种积分次序为和。
D：
（X—型）=D1+D2，，
（Y—型）
16.设为，则的极坐标形式的二次积分为。
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