高考数学二轮提升专题训练考点10正余弦定理及其应用含答案Word下载.docx
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＝3得bc＝24，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝（b－c）2＋2bc－2bccosA＝22＋48＋12＝64，即a＝8.
5.（2019苏锡常镇调研
（一））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，则sin＝________．
【解析】因为5a＝8b，所以由正弦定理可得5sinA＝8sinB，即sinA＝sinB，因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，则sinB＝2sinBcosB，因为sinB>
0，所以cosB＝，则sinB＝＝，故sinA＝，因为A＝2B，所以cosA＝cos2B＝2cos2B－1＝，所以sin＝sinAcos－cosAsin＝.
本题综合考查了正弦定理，同角三角函数关系，三角恒等变换等多个知识点的应用．
6、（2018苏北四市期末）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bsinAsinB＋acos2B＝2c，则的值为________．
【答案】2
【解析】由正弦定理得，sinBsinAsinB＋sinAcos2B＝2sinC，即sinA（sin2B＋cos2B）＝2sinC，即sinA＝2sinC，再由正弦定理得，＝＝2.
7、（2018镇江期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则．
【答案】4
【思路分析】本题第一步应将的条件化成正余弦的等式；
第二步由于本题求是的三角形边长，所以将三角函数值等式转化为边长的等式；
第三步：
再结合解方程组即可.
解析：
解法一：
由可得：
，即，
所以有，即
由正、余弦定理可得：
，即，又
所以，即.
解法二：
也可在，
用余弦定理可得，解得，下同解法一.
8、（2017徐州、连云港、宿迁三检）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.已知a＋c＝2b，sinB＝sinC，则cosA＝________.
【答案】
由sinB＝sinC得b＝c.又因为a＋c＝2b，所以a＝c，因此cosA＝＝＝
9、（2017南京、盐城二模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则cosA＝________．
【答案】、
【解析】利用三角公式对＋1化简．
由＋1＝，得＋1＝，即＝.在△ABC中，sin（A＋B）＝sinC.由正弦定理＝，所以cosA＝.
10、（2018南通、泰州一调）设△的内角，，的对边分别是，且满足，则．
【答案】4
解法1（正弦定理）根据正弦定理可得，
即，
又因为
所以
又因为，所以
所以，则
解法2（射影定理）因为及可得，，注意到，两式相除可得，再由正弦定理可得
解后反思：
解三角形问题中若等式既有三角函数又有边，则可以考虑利用正弦定理或余弦定理转化为只含有边或只含有三角函数的等式处理.解法2则利用了三角形中的射影定理（教材必修5p17练习5）结合条件整体处理.
11、（2017南通、扬州、泰州、淮安三调）在锐角△ABC中，，．若△ABC的面积为，则的长是．
【答案】
【解析】因为，由，解得，因为是在锐角中，所以（或求出锐角，再求），在锐角中，由余弦定理得：
，所以，即.
【问题探究，开拓思维】
题型一运用正余弦定理解决边角问题
知识点拨：
正余弦定理主要是解决三角形的边角问题，在解三角形时要分析三角形中的边角关系，要合理的使用正、余弦定理，要有意识的考虑是运用正弦定理还是余弦定理，就要抓住这两个定理的使用条件。
例1、（2019苏州三市、苏北四市二调）在△ABC中，已知C＝120°
【答案】2
【变式1】
（2019南京学情调研）已知△ABC的面积为3，且AC－AB＝2，cosA＝－，则BC的长为________．
【变式2】
（2019年江苏卷）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；
（2）若，求的值．
【解析】
（1）由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；
（2）由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值.
（1）因为，
由余弦定理，得，即.
所以.
（2）因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
【变式3】
（2017苏锡常镇调研
（一））在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．已知acosB＝3，bcosA＝1，且A－B＝.
（1）求c的长；
（2）求B的大小．
规范解答
（1）解法1在△ABC中，acosB＝3，由余弦定理，
则a·
＝3，得a2＋c2－b2＝6c；
①（2分）
bcosA＝1，则b·
＝1，得b2＋c2－a2＝2c，②（4分）
①＋②得2c2＝8c，所以c＝4.（7分）
解法2因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
则sinAcosB＋sinBcosA＝sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，（2分）
由＝＝得sinA＝，sinB＝，代入上式得（4分）
c＝acosB＋bcosA＝3＋1＝4.（7分）
（2）由正弦定理得＝＝＝3.（10分）
又tan（A－B）＝＝＝，（12分）
解得tanB＝，又B∈（0，π），所以B＝.（14分）
【变式4】
（2016南通一调）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab.
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2acosB，b＝2，求△ABC的面积．
.规范解答
（1）在△ABC中，由（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，得＝－，即cosC＝－.（3分）
因为0<
C<
π，所以C＝.（6分）
（2）解法1因为c＝2acosB，由正弦定理，得
sinC＝2sinAcosB.（8分）
因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin（A＋B），
所以sin（A＋B）＝2sinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin（A－B）＝0，（10分）
又－<
A－B<
，
所以A－B＝0，即A＝B，所以a＝b＝2.（12分）
所以△ABC的面积为S△ABC＝absinC＝×
2×
sin＝.（14分）
解法2由c＝2acosB及余弦定理，得c＝2a×
，（8分）
化简得a＝b，（12分）
解后反思本题的考点是三角函数和解三角形．在运用余弦定理得到C的大小后，考虑到将c＝2acosB单纯化为边或角时，需要注意三角公式的灵活应用以减少计算量．
【变式5】
（2019常州期末）已知△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2－bcsinA＋c2＝a2.
（1）求角A的大小；
（2）若tanBtanC＝3，且a＝2，求△ABC的周长．
.规范解答
（1）由余弦定理得a2＝b2－2bccosA＋c2.
又b2－bcsinA＋c2＝a2，所以b2－2bccosA＋c2＝b2－bcsinA＋c2，即2bccosA＝bcsinA.（3分）
从而sinA＝cosA，若cosA＝0，则sinA＝0，与sin2A＋cos2A＝1矛盾，所以cosA≠0，所以tanA＝.又A∈（0，π），所以A＝.（7分）
（2）＝tan（B＋C）＝tan（π－A）＝tan＝－.（9分）
又tanBtanC＝3，所以tanB＋tanC＝－×
（－2）＝2，解得tanB＝tanC＝.（11分）
又B，C∈（0，π），所以B＝C＝，又因为A＝，所以△ABC是正三角形．
由a＝2得△ABC的周长为6.（14分）
【变式6】
（2019南通、泰州、扬州一调）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acosB＝bcosA，cosA＝.
（1）求角B的值；
（2）若a＝，求△ABC的面积．
.解：
（1）在△ABC中，因为cosA＝，0<
A<
π，所以sinA＝＝.（2分）
因为acosB＝bcosA，由正弦定理＝，得sinAcosB＝sinBcosA.
所以cosB＝sinB.（4分）
若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B＋cos2B＝1矛盾，故cosB≠0.于是tanB＝＝1.
又因为0<
B<
π，所以B＝.（7分）
（2）因为a＝，sinA＝，
由
（1）及正弦定理＝，得＝，所以b＝.（9分）
又sinC＝sin（π－A－B）＝sin（A＋B）
＝sinAcosB＋cosAsinB
＝·
＋·
＝.（12分）
所以△ABC的面积为S＝absinC＝×
×
＝.（14分）
【变式7】
（2016苏州期末）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝2cosC.
（2）若△ABC的面积为2，a＋b＝6，求边c的长．
思路分析对于等式＝2cosC的化简，有两条思路：
（1）（用余弦定理）角化边，得三边的关系式，再用余弦定理求角C；
（2）（用正弦定理）边化角，得三角的关系式，再用三角恒等变形，得C的某三角函数值，求角C.
思路1重点是代数变形；
思路2重点是三角公式的运用．
另外，因为最终是求角C的大小，可考虑先不动2cosC.
规范解答
（1）解法1在△ABC中，由余弦定理，得
acosB＋bcosA＝＋＝c，（3分）
所以cosC＝.（5分）
解法2在△ABC中，由正弦定理，得
＝＝＝＝1，（3分）
因为C∈（0，π），所以C＝.（
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