随机变量及其概率分布_精品文档.doc
《随机变量及其概率分布_精品文档.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量及其概率分布_精品文档.doc（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
《概率论与数理统计》内容提要及习题详解第二章随机变量及其概率分布第16页共9页
第二章随机变量及其概率分布
【内容提要】
一、随机变量及其分布函数
设是定义于随机试验的样本空间上的实值函数，且，是随机事件，则称为随机变量，而称为其概率分布函数。
随机变量的概率分布函数具有如下性质:
⑴．非负性:
，有；
⑵．规范性:
；
⑶．单调性:
若，则；
⑷．右连续性:
，有。
二、离散型随机变量
1．离散型随机变量及其概率分布律
若随机变量只取一些离散值，且取到这些值的概率满足，则称为离散型随机变量，而称为其概率分布律，记为，也可用下表来表示:
而其概率分布函数是单增、右连续的阶梯形函数。
2．常用离散型分布
⑴．单点分布:
为常数；
⑵．二项分布:
；
特别当时，二项分布退化为两点分布；
⑶．超几何分布:
；
⑷．分布:
；
特别当时，分布退化为几何分布；
⑸．分布:
。
三、连续型随机变量
1．连续型随机变量及其概率密度函数
若随机变量的一切可能取值充满了某一区间，且存在一个实值函数，使其概率分布函数，且，则称为连续型随机变量，而称为其概率密度函数，记为。
连续型随机变量的密度函数与分布函数之间有满足。
2．常用连续型分布
⑴．分布:
设为常数，则分布的密度函数为:
特别当时，分布即均匀:
；
⑵．分布:
设为常数，则分布的密度函数为:
特别当时，分布即指数分布:
；
⑶．正态分布:
。
四、随机变量函数的分布
设为随机变量，而为连续的确定型函数。
⑴．若为离散型随机变量，且，则也是离散型随机变量，其概率分布律为:
；
⑵．若为连续型随机变量，且，则也是连续型随机变量，其概率密度函数为:
。
【第二章作业】
1、从的自然数中随机地取出个数，用表示所取的个数中的最大值，求其概率分布。
解:
发生所取的个数中有一个是，其余个是从中取到的，故
，，即
2、将一枚均匀的硬币连掷次，用表示出现的正、反面次数之差，求其概率分布。
解:
用表示将一枚均匀的硬币连掷次时，正面出现了次，则
，即
3、设随机变量的概率分布如下，求:
0
1
2
3
4
5
解:
由题设知所求概率为:
，
，。
4、设随机变量的概率分布为，求常数。
解:
由得。
5、设一辆汽车在开往目的地的道路上需经过盏信号灯，每盏信号灯以的概率允许或禁止汽车通过，用表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的数目，求其概率分布。
解:
由题意知，即
0
1
2
3
4
6、设一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能的答案，其中只有一个答案是正确的，某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少?
解:
。
7、对同一目标进行次独立射击，每次射击的命中率为，问这次射击中最可能命中多少次?
其相应的概率是多少?
解:
，，其中，由于
，即
在内是单调递增的，而在内是单调递减的，故的最大值点为:
。
对于本题，由于，故的最大值点为，
即次射击中最可能命中132次，且相应的概率为:
。
注:
当时，有斯特林公式。
8、设随机变量服从参数为的分布，且，求。
解:
由知，，而。
9、对同一目标进行独立射击，每次射击的命中率为，直到命中目标为止，用表示命中首次目标时的射击次数，求其概率分布，并计算至少需射击2次才能命中目标的概率。
解:
，而
。
10、袋中有5个同样大小的球，分别给其编号为，从中同时取出3个球，用表示所取的3个球上号码的最大值，求其概率分布及分布函数。
解:
发生所取的3个球中有一个的号码是，其余2个的号码是从中取到的，故，，即
3
4
5
其分布函数及其图形如下：
，
11、设随机变量的分布函数为，求常数。
解:
由分布函数的性质得:
，解之得，即。
12、设随机变量的概率密度函数为，求常数及。
解:
由概率密度函数的性质得:
，故，而
。
13、设某电子元件寿命的概率密度函数为，求5个同类型的电子元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率。
解:
，。
14、设随机变量的分布函数为，求其概率密度函数。
解:
。
15、设随机变量的概率密度函数为，求其概率分布函数。
解:
。
16、设公共汽车站从上午7:
00点到晚上8:
00点间，每隔15分钟来一辆班车，若某乘客到达车站的时间在上午7:
00点到7:
30内均匀分布，求其候车时间不超过5分钟的概率。
解:
由题设知该乘客的到站时间、候车时间之间的关系为:
，，而，故
。
17、设随机变量，求方程有实根的概率。
解:
由题设知，故方程有实根的概率为:
。
18、设打一次电话所用的时间服从的指数分布，若某人刚好在你前面走进公用电话间，求你需要等待分钟的概率。
解:
由题设知，故所求的概率为:
。
19、设，求。
解:
，
。
20、设，求。
解:
由于，故，从而
，
，
。
21、设某地区的月降雨量服从的正态分布，求从某月起连续10个的降雨量都不超过的概率。
解:
由于，故，从而所求概率为:
。
22、设随机变量的概率分布律如下，求的概率分布律。
0
2
6
9
1
9
15
23、设随机变量的概率分布律如下，求的概率分布律。
0
1
2
解:
由题意知的概率分布律为:
0
1
4
24、设随机变量的概率分布律为，求的概率分布律。
解:
由题意知的概率分布律为:
。
25、设随机变量的概率密度函数为，求的概率密度函数。
解:
由题意知的概率分布函数及其概率密度函数分别为:
，
。
26、设随机变量的概率密度函数为，求的概率密度函数。
解:
由题意知的概率分布函数及其概率密度函数分别为:
，
。
27、设随机变量的概率密度函数为，求的概率密度函数。
解:
由题意知的概率分布函数及其概率密度函数分别为:
，
。
28、设随机变量，求的概率密度函数。
解:
由题意知的概率分布函数及其概率密度函数分别为:
，
。
29、设随机变量，证明，其中为常数。
证明:
由题意知的概率分布函数及其概率密度函数分别为:
，
，即。
16
升级会员 