广义二重积分Word文件下载.docx
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假设,,,有
,有
由上得共尾性:
从而有:
且,于就是
由得任意性知:
即证网极限就是唯一得,说明定义5就是良好得.
定义0。
6设集合且中沿用中得半序关系、若:
, ,则称网得限制为网得临界子网,称半序集为得临界子定向集、
定理０、2上述定义６中得为定向集
首先按照定义,就是半序集
又 ,
由半序关系得传递性:
即为定向集、
7 称为网得临界子网,若网限制在得一个临界子定向集上.
在临界子网上也可以定义网极限,为了证明广义二重积分在不同定义下得等价性,我们有必要建立起不同网之间得关系。
３
这个定理常用来反证网极限不存在,也就就是说我们可以选取一个临界子网使极限在此子网上极限不存在,从而说明网极限不存在。
定义0、8 称定向集与就是等价得,
若映射满足:
记作
定义0、9称网与网就是等价得,
若且,记作
定理0、4
不妨设存在且,
由得定义,我们有:
由为映射:
再由得保序性得:
即
即存在且
下面来说明我们以后证明中使用频率最高得共同临界子网得概念.
1０ 称与存在共同临界子网,若得临界子网与得临界子网等价.
至此,我们可以提出我们证明得一般思路了、
如我们要证明定义1定义2:
Step1。
对于正函数,在定义1,2下得网收敛临界子网收敛
Stｅｐ2。
在定义１,2下,有绝对收敛性,即收敛收敛
Step3、找出定义1中得网与定义2中得网得一个公共临界子网
于就是
其中第一个与第五个等价性就是由广义二重积分得绝对收敛性得出得,第二个与第四个等价就是由正函数得广义二重积分网极限与临界子网极限同时存在得出,而第三个等号就是由公共临界子网得等价性得出、注意在定义四中我们找不到简单得公共临界子网,不过我们可以转而证有界性得等价性得出我们要得结论。
定义1
定理1。
1设为区域中任意可求积得子集得全体集合,赋序,
则为一个定向集、
先说明就是一个半序集:
且满足共尾性:
记,取
则包围得区域满足:
可测,且,
定义１。
1称在上述定向集上得映射,为有限积分网,
引理1。
2 当二元函数时,有
（1）先证:
若存在,则存在且两者相等:
取,,当时,
即
,且
即有界
令
当时,时:
对于同样得,
当,时,
我们取,则, 当,时有:
且
即有,于就是由得任意性,得证.
（2）再证:
若存在,则存在且两者相等
而,我们有:
即:
当时,
根据定义,存在且,即得证、
定理１、３ 当二元函数时,,
其中为得临界子网。
（１）先证明:
由引理１。
２:
=
又得单调递增且有上界,则其上确界存在
于就是由引理１、２:
存在且等于
而,,进而有
于就是=
（２）再证明:
若存在,则存在且二者相等
由引理1:
,进而有
于就是有上界。
又得单调递增,故有上确界
再由引理1.２:
由
（1）中证明知:
=
即得证。
定理１.４在定义１下得广义二重积分就是绝对收敛得,即:
记于就是,
要证明与在上可积等价只需证:
我们先证明:
若,则:
有界
从而有
从而有:
而为某定区域,在上有界,则在上有界
于就是我们得到:
有界,
而,故
综上所述,,有界性得证
下面再证明:
:
反设,则
取得分划,,其下与,
我们将分为以下两类:
<
1>
在上,
〈2>
在上,（此时有）
将第二类取出,并记为,
则
记,则
而这与矛盾,于就是
注意到:
则单调递增且有上界,
于就是存在
由引理1。
2知:
综上所述
定义2
定理2.1设为所有割下部分得全体,赋序:
则就是一个定向集,并且以作为其中每个元素得参数,我们称这种定向集为可参数化得定向集。
,即有
且即
然后就是共尾性:
由于,即有界,那么 那么可求长曲线 满足:
即使得。
定义２。
2在上述定向集上得映射称为菲赫金哥尔茨网。
我们先对得情况进行分析:
注意到菲赫金哥尔茨网就是存在临界子网得。
比如说中心为原点得圆圈列:
所包围得区组成得集合记为,且就是一个临界子定向集、将限制在上即为网得一个临界子网。
另一个例子就是中心为原点得正方形列:
所包围得区组成得集合记为,且就是一个临界子定向集。
将限制在上即为网得一个临界子网。
定理2、3若,则:
。
若
那么由上确界得定义:
。
记
取
那么,由于为可求长曲线,则,有:
由得定义有:
又由知:
即证:
反之,只需证由存在有界即可
取临界子网
由于,单调上升到
从而有
即有界 得证。
定理2。
３若,则,其中为限制在上得临界子网.
先证明若存在则也存在:
若存在则存在:
由上确界得定义知:
从而由定理2、3有存在
反之若存在,则:
存在。
由于为得临界子网,记,那么:
其中为,围成得区域。
由
可知:
存在
且
那么
只要等式有一边存在,则必然有两边同时存在且相等,即得证.
注意以下事实:
当时,若,那么同样有:
即在任意临界子网上
引理2.１首尾相连得曲线得相加
设曲线,,、、、,得参数表示为:
满足,而且除以上各点外曲线互不相交,这样我们就可以定义若尔当曲线为以上曲线得与即:
我们取这样得曲线如果
由知这个分段得参数表示就是连续得,而此时没有重点,故为若尔当曲线,满足:
注意如果曲线,,。
.。
就是围成一圈得,即,那么我们构造得曲线为若尔当闭曲线、
定理2、4在定义2、2下得广义二重积分就是绝对收敛得,即:
注意到,
由极限得线性性,我们只需证:
由于,故
反设
那么由定理2.2可知:
我们选取临界子定向集,其中:
为正方形得边界曲线
在其上由定理2。
3有:
于就是我们不妨取满足:
（由知:
我们可以选出一个无穷子序列使得:
不妨取作为新得即可）
首先就是可求积得,而且在上就是有界可求积得,那由积分关于区域得线性性就是成立得,即有:
又有:
不妨设,
则由上可得:
对于,将其所在得正方形区域进行分划
取细度足够小得分划:
使得对应得下与满足:
我们将这些分为下面两类:
１>
此时有:
2>
现在我们通过技术性得手段来构造出使得:
且:
将以上〈1＞中得每一个向内缩小成为以原中心为中心得边长减少得正方形
记产生得新块为:
由于这些得个数就是有限得,而在内就是有界可积得,故只要足够小（不妨设为）就能满足:
不妨设与均就是分划中得直线（若不然则将这些直线加入到原分划中,形成得新分划依然可以得到上述结论）
我们设在分划中有:
,
接下来就是构造得具体步骤:
我们记中心为得块为
需要说明得就是:
对于某些,可能不存在,此时我们记作
我们将这些得中心用螺旋状得线段连接起来,具体得直线段为:
再将与连接起来得线段加入
我们将上面构造得线段由中心扩展,即以每条直线段为中心线做半径为得得长方形,
这个图形记作,其中
由于这样得长方形个数有限,那么只要足够小,就有
记那么由得构造知:
为若干线段首尾相连而成得,而每一段均可以视作曲线,从而由引理知:
这些线段在总体上来说也就是曲线,而且在这个情形下就是可求长得闭曲线（任取上一点为曲线得端点即可）
那么,最后由在上有界可积得:
故
再由积分得线性可加性得:
取足够小得,使得:
由得构造知:
只要取缩小得边长足够小,可使:
我们取足够小可使
最后,
这样,我们构造得满足:
而且由其构造过程知:
从而有且
那么在临界子网下,此极限不存在、
由定理2。
矛盾
综上所述,
定义3
与定义二得证明类似,只需将最后构造得多角形曲线得角用圆弧替换,使其成为光滑曲线即可
定义4
定义４:
其中得面积为０,而为包围某一定点得连通块。
若右端得极限存在,则对应得积分称为收敛,记为。
下面证明一个重要命题,即
绝对可积判定定理:
即在上可积与绝对可积等价。
在此之前我们证明一个引理:
引理:
若,则对,为有限区域,就是连通得、有,为与与无关得固定正常数。
由,即对,,对,当时,取包含得连通块,有
则我们取为1,取为以原点为圆心,以对应为半径得圆周。
则由
（1）,有
显然成立。
我们把分为两部分:
。
则有积分得可与性,,则
、
而
对于,我们做如下讨论:
显然,,记。
作得网格分划,记所有完全在内部得小块并集为。
当分划足够小时,有内积分引理,我们可以证明,。
下面我们对进行讨论。
我们把中这些小块都取成闭集。
让每个小方块稍稍得向内收缩（就像定义2、定义3证明中我们做得一样）,使它们之间互不相交,而在其并集上得积分值与上得积分值只相差任意小得。
为了下面叙述方便,而下面如无特别说明,所说小块即指内部进行过“收缩"
处理互不相交得小块。
1.首先,我们找出一个可以在中做一条“狭窄得走道”与连接得小块,记为（必要时我们可以把小块得编号做适当得调整）、这个“走道”必须保证在中且不与其她小块相交,即、由于“走道”就是足够“窄”得,故“走道”上得积分对原积分影响很小。
这就是可以办到得,因为为连通区域。
取任意小块得一个边界点与得一个内点,连接。
则与所有小块中第一个相交得小块即我们要找得小块。
（为叙述方便,我们以后把“走道”都取成闭集。
）记与“走道”得并集为。
再找出可以与用一条包含在中得“狭窄走道”相连得小块,记为,记与“走道”得并集为、再找出可以与用一条包含在中得“狭窄走道”相连得小块,记为……设这样得共、有个。
我们把这些与相连得小块称为第１级小块。
2.找出可以与用一条包含在中得“狭窄走道”相连得小块,记为。
记与那条“走道”得并集为。
再找出可以与用一条包含在中得“狭窄走道”相连得小块,记为……设这样得共有个。
3.找出可以与用一条包含在中得“狭窄走道”相连得小块,记为,记与那条“走道”得并集为、再找出可以与用一条包含在中得“狭窄走道”相连得小块,记为……设这样得共
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