初中与角度有关的运算尖子班Word文档下载推荐.docx
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D.北偏西50°
【解答】解:
如图,
AP∥BC,
∴∠2=∠1=50°
.
∠3=∠4﹣∠2=80°
﹣50°
=30°
,
此时的航行方向为北偏东30°
故选:
A.
2.(2017秋•榆树市期末)计算:
90°
﹣(36°
31′52″+12°
22′14″).
22′14″)
=90°
﹣48°
53′66″
54′6″
=89°
59′60″﹣48°
=41°
5′54″.
3.(2017秋•兴化市期末)钟面角是指时钟的时针与分针所成的角.如图,在钟面上,点O为钟面的圆心,图中的圆我们称之为钟面圆.为便于研究,我们规定:
钟面圆的半径OA表示时针,半径OB表示分针,它们所成的钟面角为∠AOB;
本题中所提到的角都不小于0°
,且不大于180°
;
本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间.
(1)时针每分钟转动的角度为______ °
,分针每分钟转动的角度为____°
(2)8点整,钟面角∠AOB=_____°
,钟面角与此相等的整点还有:
_____点;
(3)如图,设半径OC指向12点方向,在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置,并求出此时∠AOB的度数.
(1)时针每分钟转动的角度为0.5°
,分针每分钟转动的角度为6°
故答案为:
0.5,6;
(2)0.5×
60×
4=120°
,4点时0.5×
120,4;
(3)如图,
∠AOB=6×
30+15×
0.5﹣15×
6=97.5°
4.(2017秋•孝感期末)计算:
(1)48°
39′+67°
31′﹣21°
17′;
(2)23°
53′×
3﹣107°
43′÷
5.
17′
=116°
10′﹣21°
=94°
53′;
5
=71°
39′﹣21°
32′36″
=50°
6′24″.
知识点2:
角平分线的定义
1.从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线。
2.尺规作图,作∠AOB的平分线的方法:
(1)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交角AOB两边于点M,N。
(2)分别以点M,N为圆心,以大于1/2MN的长度为半径画弧,两弧交于点P。
(3)作射线OP。
射线OP即为所求。
1.已知∠AOB=20°
,∠AOC=4∠AOB,OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,则∠MOD的度数是________
【解析】
解:
分为两种情况:
如图1,当∠AOB在∠AOC内部时,
∵∠AOB=20°
,∠AOC=4∠AOB,
∴∠AOC=80°
∵OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,
∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=10°
,∠AOM=∠COM=∠AOC=40°
∴∠DOM=∠AOM﹣∠AOD=40°
﹣10°
如图2,当∠AOB在∠AOC外部时,
∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°
+10°
本题已知角的数量关系∠AOC=4∠AOB,以及OD、OM是角平分线,但不知道角∠AOC与∠AOB的位置关系,无法直接得出结论。
所以作图分两种情况,即:
∠AOB在∠AOC内部和∠AOB在∠AOC外部,结合图形根据已知条件求出未知角的度数。
1.(2017秋•开江县期末)如图,∠BOE=2∠AOE,OF平分∠AOB,∠EOF=20°
,求∠AOB.
设∠AOE=x°
,则∠BOE=2∠AOE=2x°
所以∠AOB=∠BOE+∠AOE=3x°
∵OF平分∠AOB,
∴∠AOF=∠AOB=1.5x°
∵∠EOF=20°
∴1.5x﹣x=20,
解得:
x=40,
∴∠AOB=3x°
=120°
2.(2017秋•定边县期末)如图,O为直线AB上一点,∠AOC=50°
,OD平分∠AOC,∠DOE=90°
(1)求出∠BOD的度数;
(2)请通过计算说明OE是否平分∠BOC.
(1)因为∠AOC=50°
,OD平分∠AOC,
所以∠DOC=∠AOC=25°
,∠BOC=180°
﹣∠AOC=130°
所以∠BOD=∠DOC+∠BOC=155°
(2)OE平分∠BOC.理由如下:
∵∠DOE=90°
,∠DOC=25°
∴∠COE=90°
﹣25°
=65°
∵∠BOC=130°
∴∠BOE=∠BOC﹣∠COE=130°
﹣65°
∴∠COE=∠BOE,
∴OE平分∠BOC.
3.(2017秋•泸县期末)如图,已知∠AOB=90°
,∠EOF=60°
,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,求∠COB和∠AOC的度数.
∵∠AOB=90°
,OE平分∠AOB,
∴∠BOE=∠AOB=45°
∵∠EOF=60°
∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=15°
∵OF平分∠BOC,
∴∠BOC=2∠BOF=30°
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°
4.(2017秋•杜尔伯特县期末)如图所示.
(1)已知∠AOB=90°
,∠BOC=30°
,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数;
(2)∠AOB=α,∠BOC=β,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的大小.
(1)∵∠AOB=90°
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°
+30°
∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,
∴∠MOC=∠AOC=60°
,∠CON=∠BOC=15°
∴∠MON=∠MOC﹣∠CON=60°
﹣15°
=45°
45°
(2)同理可得,∠MOC=(α+β),∠CON=β.
则∠MON=∠MOC﹣∠CON=(α+β)﹣β=α.
知识点3:
余角和补角
1.如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角.∠A+∠C=90°
∠A=90°
-∠C,∠A与∠C互余;
余角的性质:
同角的余角相等。
比如:
∠A+∠B=90°
∠A+∠C=90°
则:
∠C=∠B。
等角的余角相等。
∠D+∠C=90°
∠A=∠D则:
2.如果两个角的和是一个平角,那么这两个角互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角
∠A+∠C=180°
∠A=180°
-∠C,∠A与∠C互补;
补角的性质:
同角的补角相等。
∠A+∠B=180°
∠A+∠C=180°
等角的补角相等。
∠D+∠C=180°
∠A=∠D,则:
1.如图,点A、B、O在同一条直线上,∠COE和∠BOE互余,射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE,则∠AOF+∠BOD与∠DOF的关系是__________
∠AOF+∠BOD=3∠DOF.理由如下:
设∠COF=∠EOF=x,∠DOE=∠BOD=y,
∵2x+2y=90゜,
∴∠DOF=x+y=45゜,
∴∠AOF+∠BOD=90゜+x+y=135゜,
∴∠AOF+∠BOD=3∠DOF,
题中给出了互余的两个角,隐含了一对互补的角。
通过一对互余角的角平分线求出平分后小角组成的大角为45°
,利用平角是180°
,求出剩余角度之和是135°
,进而求出二者之间的比例关系。
1.(2017秋•海口期末)已知∠2是∠1的余角,∠3是∠2的补角,且∠1=38°
,则∠3等于( )
A.62°
B.128°
C.138°
D.142°
∵∠2是∠1的余角,
∴∠2=90°
﹣∠1=90°
﹣38°
=52°
∵∠3是∠2的补角,
∴∠3=180°
﹣∠2=180°
﹣52°
=128°
B.
2.(2017秋•溧水区期末)如果∠α和∠β互补,且∠α<∠β,下列表达式:
①90°
﹣∠α;
②∠β﹣90°
③(∠β+∠α);
④(∠β﹣∠α)中,等于∠α的余角的式子有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
∵∠α和∠β互补,
∴∠β=180°
﹣∠α,
∠α的余角是90°
﹣α,
∠β﹣90°
=180°
﹣∠α﹣90°
(∠β+∠α)=(180°
﹣∠α+∠α)=90°
(∠β﹣∠α)=(180°
﹣∠α﹣∠α)=90°
即①②④,3个,
C.
3.(2017秋•阜宁县期末)如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=112°
.将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,问:
直线ON是否平分∠AOC?
请说明理由;
(2)将图1中的三角板绕点O按每秒4°
的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为多少?
(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,请探究:
∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.
(1)平分,理由:
延长NO到D,
∵∠MON=90°
∴∠MOD=90°
∴∠MOB+∠NOB=90°
∠MOC+∠COD=90°
∵∠MOB=∠MOC,
∴∠NOB=∠COD,
∵∠NOB=∠AOD,
∴∠COD=∠AOD,
∴直线NO平分∠AOC;
(2)分两种情况:
①如图2,∵∠BOC=112°
∴∠AOC=68°
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时,∠AOD=∠COD=34°
∴∠BON=34°
,∠BOM=56°
即逆时针旋转的角度为56°
由题意得,4t=56°
解得t=14(s);
②如图3,当NO平分∠AOC时,∠NOA=34°
∴∠AOM=56°
即逆时针旋转的角度为:
180°
+56°
=236°
由题意得,4t=236°
解得t=59(s),
综上所述,