初中与角度有关的运算尖子班Word文档下载推荐.docx
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D．北偏西50°
【解答】解：
如图，
AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°
．
∠3=∠4﹣∠2=80°
﹣50°
=30°
，
此时的航行方向为北偏东30°
故选：
A．
2．（2017秋•榆树市期末）计算：
90°
﹣（36°
31′52″+12°
22′14″）．
22′14″）
=90°
﹣48°
53′66″
54′6″
=89°
59′60″﹣48°
=41°
5′54″．
3．（2017秋•兴化市期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：
钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；
本题中所提到的角都不小于0°
，且不大于180°
；
本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为______ °
，分针每分钟转动的角度为____°
（2）8点整，钟面角∠AOB=_____°
，钟面角与此相等的整点还有：
_____点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．
（1）时针每分钟转动的角度为0.5°
，分针每分钟转动的角度为6°
故答案为：
0.5，6；
（2）0.5×
60×
4=120°
，4点时0.5×
120，4；
（3）如图，
∠AOB=6×
30+15×
0.5﹣15×
6=97.5°
4．（2017秋•孝感期末）计算：
（1）48°
39′+67°
31′﹣21°
17′；
（2）23°
53′×
3﹣107°
43′÷
5．
17′
=116°
10′﹣21°
=94°
53′；
5
=71°
39′﹣21°
32′36″
=50°
6′24″．
知识点2：
角平分线的定义
1.从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2.尺规作图，作∠AOB的平分线的方法：
（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
（2）分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
（3）作射线OP。
射线OP即为所求。
1.已知∠AOB=20°
，∠AOC=4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是________
【解析】
解：
分为两种情况：
如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB=20°
，∠AOC=4∠AOB，
∴∠AOC=80°
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=10°
，∠AOM=∠COM=∠AOC=40°
∴∠DOM=∠AOM﹣∠AOD=40°
﹣10°
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°
+10°
本题已知角的数量关系∠AOC=4∠AOB，以及OD、OM是角平分线，但不知道角∠AOC与∠AOB的位置关系，无法直接得出结论。
所以作图分两种情况，即：
∠AOB在∠AOC内部和∠AOB在∠AOC外部，结合图形根据已知条件求出未知角的度数。
1．（2017秋•开江县期末）如图，∠BOE=2∠AOE，OF平分∠AOB，∠EOF=20°
，求∠AOB．
设∠AOE=x°
，则∠BOE=2∠AOE=2x°
所以∠AOB=∠BOE+∠AOE=3x°
∵OF平分∠AOB，
∴∠AOF=∠AOB=1.5x°
∵∠EOF=20°
∴1.5x﹣x=20，
解得：
x=40，
∴∠AOB=3x°
=120°
2．（2017秋•定边县期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°
，OD平分∠AOC，∠DOE=90°
（1）求出∠BOD的度数；
（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
（1）因为∠AOC=50°
，OD平分∠AOC，
所以∠DOC=∠AOC=25°
，∠BOC=180°
﹣∠AOC=130°
所以∠BOD=∠DOC+∠BOC=155°
（2）OE平分∠BOC．理由如下：
∵∠DOE=90°
，∠DOC=25°
∴∠COE=90°
﹣25°
=65°
∵∠BOC=130°
∴∠BOE=∠BOC﹣∠COE=130°
﹣65°
∴∠COE=∠BOE，
∴OE平分∠BOC．
3．（2017秋•泸县期末）如图，已知∠AOB=90°
，∠EOF=60°
，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．
∵∠AOB=90°
，OE平分∠AOB，
∴∠BOE=∠AOB=45°
∵∠EOF=60°
∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=15°
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOF=30°
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°
4．（2017秋•杜尔伯特县期末）如图所示．
（1）已知∠AOB=90°
，∠BOC=30°
，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
（2）∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．
（1）∵∠AOB=90°
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°
+30°
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC=60°
，∠CON=∠BOC=15°
∴∠MON=∠MOC﹣∠CON=60°
﹣15°
=45°
45°
（2）同理可得，∠MOC=（α+β），∠CON=β．
则∠MON=∠MOC﹣∠CON=（α+β）﹣β=α．
知识点3：
余角和补角
1.如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角.∠A+∠C=90°
∠A=90°
-∠C,∠A与∠C互余；
余角的性质：
同角的余角相等。
比如：
∠A+∠B=90°
∠A+∠C=90°
则：
∠C=∠B。
等角的余角相等。
∠D+∠C=90°
∠A=∠D则：
2.如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A+∠C=180°
∠A=180°
-∠C,∠A与∠C互补；
补角的性质：
同角的补角相等。
∠A+∠B=180°
∠A+∠C=180°
等角的补角相等。
∠D+∠C=180°
∠A=∠D，则：
1.如图，点A、B、O在同一条直线上，∠COE和∠BOE互余，射线OF和OD分别平分∠COE和∠BOE，则∠AOF+∠BOD与∠DOF的关系是__________
∠AOF+∠BOD=3∠DOF．理由如下：
设∠COF=∠EOF=x，∠DOE=∠BOD=y，
∵2x+2y=90゜，
∴∠DOF=x+y=45゜，
∴∠AOF+∠BOD=90゜+x+y=135゜，
∴∠AOF+∠BOD=3∠DOF，
题中给出了互余的两个角，隐含了一对互补的角。
通过一对互余角的角平分线求出平分后小角组成的大角为45°
，利用平角是180°
，求出剩余角度之和是135°
，进而求出二者之间的比例关系。
1．（2017秋•海口期末）已知∠2是∠1的余角，∠3是∠2的补角，且∠1=38°
，则∠3等于（ ）
A．62°
B．128°
C．138°
D．142°
∵∠2是∠1的余角，
∴∠2=90°
﹣∠1=90°
﹣38°
=52°
∵∠3是∠2的补角，
∴∠3=180°
﹣∠2=180°
﹣52°
=128°
B．
2．（2017秋•溧水区期末）如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，下列表达式：
①90°
﹣∠α；
②∠β﹣90°
③（∠β+∠α）；
④（∠β﹣∠α）中，等于∠α的余角的式子有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
∵∠α和∠β互补，
∴∠β=180°
﹣∠α，
∠α的余角是90°
﹣α，
∠β﹣90°
=180°
﹣∠α﹣90°
（∠β+∠α）=（180°
﹣∠α+∠α）=90°
（∠β﹣∠α）=（180°
﹣∠α﹣∠α）=90°
即①②④，3个，
C．
3．（2017秋•阜宁县期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=112°
．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：
直线ON是否平分∠AOC？
请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°
的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：
∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
（1）平分，理由：
延长NO到D，
∵∠MON=90°
∴∠MOD=90°
∴∠MOB+∠NOB=90°
∠MOC+∠COD=90°
∵∠MOB=∠MOC，
∴∠NOB=∠COD，
∵∠NOB=∠AOD，
∴∠COD=∠AOD，
∴直线NO平分∠AOC；
（2）分两种情况：
①如图2，∵∠BOC=112°
∴∠AOC=68°
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD=∠COD=34°
∴∠BON=34°
，∠BOM=56°
即逆时针旋转的角度为56°
由题意得，4t=56°
解得t=14（s）；
②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA=34°
∴∠AOM=56°
即逆时针旋转的角度为：
180°
+56°
=236°
由题意得，4t=236°
解得t=59（s），
综上所述，
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