最优化计算方法课后习题答案高等教育出版社施光燕Word文档格式.docx
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,
其中，
，
所以
令,利用，求得
所以，
以下作第三次迭代
令，利用，求得
所以,因为，于是停止
即为最优解.
习题四
P95页3;
4；
8；
9
（1）;
12选做；
13选做
3题解如下
3.考虑问题，其中
（1）画出此问题的可行域和等值线的图形；
（2）利用几何图形求出此问题的最优解及最优值;
（3）分别对点指出哪些约束是紧约束和松约束。
（1）如图所示，此问题的可行域是以O点为圆心，1为半径的圆的上半部分；
等值线是平行于直线x2=2x1的一系列平行线，范围在如图所示的两条虚线内。
（2）要求f的最小值，即求出这一系列平行线中与x2轴相交，所得截点纵坐标的最大值.显然当直线在虚线1的位置，能取得极值.如图求出切点，此点即为最优解，解得最优值
（3）对于区间集S可以简化为g1：
g2：
对于点，g1和g2均为该点处的紧约束；
对于点，g1和g2均为该点处的松约束；
对于点，g1为该点的松约束，g2为该点的紧约束；
对于点,g1为该点的紧约束，g2为该点的松约束。
4题解如下
4。
试写出下列问题的K—T条件，并利用所得到的表达式求出它们的最优解：
s.t.
（2）
s。
t.
（1）解：
非线性规划的K—T条件如下：
（1）
（2）
（3）
再加上约束条件（4）
为求出满足
（1）~（4）式的解,分情况考虑：
①若（4）式等号不成立，即，那么由
（2）式得,将代入
（1）式解得，,所得值不满足的条件，故舍去。
②若（4）式等号成立，由
（1）式可以解得，,代入（4）式有：
解得
因为，所以，那么，,满足以上所有条件。
综上所述,所求非线性规划有唯一的K—T点为：
（2）解：
再加上约束条件（4）
为求出满足
（1）～（4）式的解，分情况考虑:
①若（4）式等号不成立，即，那么由
（2）式得，将代入
（1）式解得，，所得值满足以上所有约束。
②若（4）式等号成立，由
（1）式可以解得,，代入（4）式有：
因为，所以所得值均舍去，该情况不成立。
综上所述，所求非线性规划有唯一的K—T点为:
8题解如下
8考虑问题
Minx12+x1x2+2x22—6x1—2x2—12x3
S.t。
X1+x2+x3=2
（1）
—x1+2x2≤3
（2）
X1,x2,x3≥0（3）
求出点（1,1,0）处的一个下降可行方向。
首先检查在点（1，1,0）处哪些约束为有效约束。
检查易知
（1），X3≥0为有效约束。
设所求可行方向d=（d1，d2，d3）T。
根据可行方向d的定义，应存在a〉0，使对∀t∈（0，a）能有
X+td=（1+td1,1+td2,0+td3）T
也能满足所有有效约束：
（1+td1）+（1+td2）+（0+td3）=2
td3≥0
经整理即为
d1+d2+d3=0
d3≥0
满足上述不等式组的d=（d1,d2,d3）T均为可行方向。
现只求一个可行方向，所以任取d3=1，求解d1+d2=—d3
得d1+d2=—1，可任取d1=1，d2=-2得一可行方向
d=（1,—2，1）T
考虑下降性
由题可知：
将目标函数化为f（x）=1/2XTQX+bTX+C
从而▽f=QX+b即
▽f（1，1，0）=（-3，3，—12）
因为▽f（1，1,0）Td=—21〈0
表明d=（1,—2，1）T为原问题在x=（1，1，0）T处的一个下降可行方向
9题解如下
9用lemke算法解下列问题:
（1）min2x12+2x22—2x1x2-4x1-6x2
S。
t。
X1+x2≤2
X1+5x2≤5
X1，x2≥0
，，，
于是
，，
与本题相应的线性互补问题为：
W—MZ=q
W≥0,Z≥0
WTZ=0
写成表格为
W1
1
W2
2
W3
3
W4
4
Z1
5
Z2
6
Z3
7
Z4
8
q
di0
-1
—4
-5
-4
—6
由于右端有负数，所以加一人工变量W0，表格改为
W0
9
—1
-6
选择与max{-qi｝=-q4=6相应的第4行第9列元素作主元进行旋转，得
JBi
9
11
-2
由上表可看出仅w4，z4这一对变量全部不是基变量，因此从它们之中选一个进基，由于第一次碰到这一对变量，故选z4进基.在所选列中，有
Min｛8/5,11/9，2/6，6/4}=2/6
故选相应的第3行第8列元素作主元,再进行旋转,得
-5/6
—1/6
10/6
38/6
—9/6
3/6
1/6
-1/6
4/6
2/6
-4/6
—2/6
14/6
28/6
由于W0仍在基变量中，故继续运算.由于这时仅有W3，Z3这一对变量全不在基中,故仍在它们之中选一变量进基，由于是第一次从这一对变量选取，故也选Z3进基,再由
Min｛38/6/4,8/8，28/6/2｝=8/8
故选第二行第7列元素作主元,进行旋转，得
—1/2
—1/12
-5/12
1/2
13/6
7/3
1/8
-3/16
1/16
—1/8
—1/48
—5/48
13/24
4/3
-1/4
-7/24
-11/24
3/4
31/12
8/3
再继续，得
y1
y2
V1
V2
u1
u2
X1
X2
—9/31
49/62
-1/31
-4/31
—26/31
—208/93
7/62
—59/248
5/124
5/31
3/62
35/31
11/62
—147/744
—3/372
9/124
—13/62
24/31
-3/31
—25/62
-11/62
9/31
12/31
32/31
在上表中W0已被置换出基，即得到了相应线性互补问题的解，也就是所求二次规划的最优解：
y1=—208/93，x1=35/31，x2=24/31,u2=32/31，y2=v2=v2=u1=0，即x*=（35/31,24/31）T
12题解如下
12。
（1）外点法min
s。
定义惩罚函数
F（=
当
当
用解析法求解minF（），有
当
令,
得到TT
易见，当时,T
恰为所求费线性规划的最优解。
13题解如下
13.
（2）内点法
定义障碍函数
用解析法求解令
解得（0，1）
当（0,1），确为最优解。
习题五
P108页5;
10
5题解如下
5。
试求的有效解集
解：
用线性加权和法构造评价函数，令，；
令，，且，或
则
原问题转化为求
对求导可得:
由式可解得:
即,
又已知,或
所以有效解集为或
10题解如下
10.用线性加权和法求解：
权系数取
构造函数，令，，,;
原求解问题转化成求解
构造拉格朗日函数L求解,则如下
为拉格朗日乘子
对L函数求导得：
由式分别得：
代入式得：
将代入式,
∴可得：
∴有效解为,
把有效解代入，得，
目标值为:
习题六
P130页包括题目4；
5；
6；
4,5题解如下
6，7题解如下
第六题答案
1.与v1点相邻接的顶点有v2、v3两点，l2=1，l3=2，取Min｛l2、l3}=1，于是连接v1、v2两点，令顶点集S=｛v1、v2}；
图示如下：
2。
与S=｛v1、v2}相邻接的顶点有v3、v4、v5三点,l5=l2+d25=1+3=4，l4=l2+d24=1+3=4,
Min｛l2+d23、l3｝=1，取Min{l3、l4、l5｝=1,于是连接v1、v3两点，令顶点集S=｛v1、v2、v3}；
图示如下:
3。
与S={v1、v2、v3}相邻接的点有v4、v5、v7三点，l5=l2+d25=1+3=4，l4=l2+d24=1+3=4，
l7=l3+d37=2+8=10，取Min｛l4、l5、l7}=4,于是连接v2、v4、v5三点，令顶点集S=｛v1、v2、v3、v4、v5｝；
与S=｛v1、v2、v3、v4、v5}相邻接的点有v6、v7两点，l6=Min｛l5+d56、l4+d46}=6,l7=min{l3+d37、l4+d47、l5+d57}=7,取min={l6、l7｝=6，于是连接v4
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