北师大八年级数学下册因式分解Word格式文档下载.docx
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把下列各式分解因式:
(1);
(2);
(3);
(4).
(5);
(6);
(7);
(9);
(8));
(10).
2、公式法:
逆用乘法公式:
问题2、把下列各式分解因式:
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)(10)
问题3、把下列各式分解因式:
1、把下列各式分解因式:
(3)(4)
2、把下列各式分解因式:
(1)
(2)
(7)
(8)
问题4、已知有因式,求的值。
若二次多项式能被x-1整除,试求k的值。
问题5、利用分解因式证明:
能被120整除。
问题6、已知是△ABC的三边的长,且满足,试判断此三角形的形状。
问题7、阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是,共应用了次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2004,则需应用上述方法次,结果是.
(3)分解因式:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整
分解因式
(2)
专题一十字相乘法
一、原理:
二、操作方法:
1、形如:
问题1、把下列各式分解因式:
(2);
(4)
用十字相乘法分解下列各式的因式。
(1)x2+5x+6
(2)x2-5x+6(3)x2-5x-6(4)x2+5x-6
(5)x2-x-6(6)x2+x-6(7)x2+7x+6(8)x2-7x+6
2、形如:
问题2、将下列各式分解因式:
(1);
(2);
(3);
将下列各式分解因式:
(1)5x2+13xy-6y2
(2)3x2-11xy-14y2
(3)4p2q2+15pq+9(4)6(x+y)2-7(x+y)-3
思维拓展:
问题3、将下列各式分解因式:
⑴10x4-23x2y2-5y4⑵10(x+y)2-23(x+y)-5
(5)10x2-23xy-5y2+13x+8y-3
专题二分组分解法
分组分解的常见方法与技巧:
(1)、a2+2ab+b2-c2
(2)、a2-b2-a-b
(3)、a2+2ab+b2+ac+bc(4)、a2-b2+a-5b-6
(5)、a2-b2+2ax-2by+x2-y2(6)、x2+xy-2y2-x+7y-6
把下列各式分解因式
1、2、
3、4、x2+y2–2xy+ax-ay
5、x2+3xy+2x+2y2+4y6、a2b2+1–2ab+2xy–x2–y2
7、2x2+7xy–15y2–4x+19y–68、a2–b2+ax+bx+a+b
9、6x2+xy–y2+x+3y–210、x2-2xy+y2-2x+2y+1
11、2x2-xy-3y2-5x+15y-1212、2x2+7xy+6y2-4x-7y+2
课堂作业:
(4);
(6);
(8).
3、把下列各式分解因式:
(1)
(2)(3)
4、把下列各式分解因式:
第6讲添项拆项法、待定系数法
一、知识梳理
1、添项拆项法
有的多项式由于“缺项”,或“并项”因此不能直接分解。
但如果它们进行适当的添项或拆项后利用分组分解法又可以分解了,那么添项和拆项有没有标准?
一般来说,添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。
如果添项拆项后,不能运用四种基本方法分解,添项拆项也是无用的。
2、待定系数法
有些多项式不能直接分解因式,我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。
然后再把积乘出来。
用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来,进而得出因式分解结果,这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
二、典例精讲
专题一:
添项拆项法
例1分解下列各式的因式
(1)x4+4
(2)2x2+x-1
例2分解因式:
x3-3x+2
分析:
此多项式是三次三项式,缺项不能直接分解。
可考虑添项拆项法分解。
从它的最高次项看是三次,因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积,即x3-3x+2=(x+a)(x+b)(x+c).再看常数项2可分解成±
1、±
2,因此我们可猜想分解的结果可能是x3-3x+2=(x-1)(x-1)(x+2)或(x+1)(x-1)(x-2)或(x+1)(x+1)(x+2),但x3-3x+2的中间项是-3x,因此(x+1)(x+1)(x+2)是不可能的,因此只可能是前面两种的其中一种。
下面请看:
解:
x3-3x+2=x3-x-2x+2
=(x3-x)-(2x-2)
=x(x+1)(x-1)-2(2x-1)
=(x-1)(x2+x-2)
=(x-1)(x-1)(x+2)
=(x-1)2(x+2)
其结果是我们猜想中的第一种。
此题还有其他分解方法吗?
在注意到分解结果中有(x-1)和(x+2)的因式,因此还有其他更多的分解方法。
方法二:
x3-3x+2=x3-1-3x+3
=(x-1)(x2+x+1)-3(x-1)
=(x-1)(x2+x-2)
=(x-1)(x-1)(x+2)
=(x-1)2(x+2)
方法三:
x3-3x+2=x3-x2+x2-3x+2
=x2(x-1)+(x-1)(x-2)
=(x-1)(x2+x-2)
=(x-1)(x-1)(x+2)
方法四:
x3-3x+2=x3+23-3x-6
=(x+2)(x2-2x+4)-3(x+2)
=(x+2)(x2-2x+1)
方法五:
x3-3x+2=x3+2x2-2x2-3x+2
=x2(x+2)-(2x2+3x-2)
=x2(x+2)-(x+2)(2x-1)
=(x+2)(x2-2x+1)
=(x-1)2(x+2)
方法六:
x3-3x+2=x3+x2-2x-x2-x+2
=x(x2+x-2)-(x2+x-2)
=(x2+x-2)(x-1)
……………………
你能再找出两种解法吗?
试试看,猜想有多少种解法?
变式训练:
(1)x4+x2+1
(2)x4+64(3)x4-7x-2
专题二:
待定系数法
例3、分解因式:
6x2+7xy+2y2-8x-5y+2
=(3x+2y)(2x+y)-8x-5y+2
设6x2+7xy+2y2-8x-5y+2
=(3x+2y+m)(2x+y+n)
=6x2+3xy+3nx+4xy+2y2+2ny+2mx+my+mn
=6x2+7xy+2y2+(2m+3n)x+(m+2n)y+mn
∴2m+3n=-8m=-1
m+3n=-5
mn=2n=-2
∴6x2+7xy+2y2-8x-5y+2=(3x+2y-1)(2x+y-2)
用待定系数法分解x2+2xy-8y2+2x+14y-3的因式
例4、已知多项式x4+x3+6x2+5x+5能被x2+x+1整除,请分解前者的因式。
因为多项式x4+x3+6x2+5x+5能被x2+x+1整除,所以x2+x+1就是多项式x4+x3+6x2+5x+5的一个因式,设它的另一个因式为(x2+ax+b),则有:
x4+x3+6x2+5x+5=(x2+x+1)(x2+ax+b)
=x4+ax3+bx2+x3+ax2+bx+x2+ax+b
=x4+(a+1)x3+(a+b+1)x2+(a+b)x+b
∴a+1=1a=0
a+b+1=6
a+b=5
b=5b=5
∴x4+x3+6x2+5x+5=(x2+x+1)(x2+5)
已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式,则a+b=
专题三:
在实数范围内分解因式
例5、在实数范围内分解因式
(1)3-2
(2)3+--(3)x2-(+)x+
(4)4x2-3(5)x-2
变式训练(在实数范围内分解因式):
(1)7+2
(2)9-2(3)x2-(+)x+
(4)--+(5)a4-6a2+8
专题四:
思维拓展
1、分解下列各式的因式
①x4+x2+1②x3+6x2+11x+6③x3+2x2+2x+1
④x4+x3-3x2-4x-4⑤x4+x2-2ax+1-a2⑥(1-a2)(1-b2)-4ab
⑦7+(在实数范围内)⑧x2-x-1(在实数范围内)
2、已知多项式x4-3x2+6x+8有一个因式是x2-3x+4,把这个多项式分解因式.
3、若多项式x2-6x+5和多项式x2+2x-k有公因式,则k=
4、如果a、b是整数,且是x2-x-1是ax3+bx2+1的因式,则b=
5、若2x3-10x2+mx-15能被x-5整除,则m=
6、若3x2-kx+4被3x-1除余3,则k=
7、已知a、b、c为实数,且多项式x3+ax2+bx+c能被x2+3x-4整除,①求4a+c②求2a-2b-c的值。
8、求方程++=(x+y+z)的实数解。
第7讲分解因式(3)
一、分解因式的基本方法:
1、提公因式法;
2、公式法;
3、分组分解法;
4、拆项添项法;
5、十字相乘法;
6、待定系数法。
二、巩固基础:
(一)分解因式:
1、2、5a3-125a
3、4、
5、a2-6abc+9b2c26、x5y5-2x3y3+xy
7、8、
9、 10、a4-2a2b2+b4
11、12、
(二)计算:
1、
2、
三、能力提升:
1、2、3、(河南竞赛)
4、(北京竞赛)5、(重庆竞赛)
6、(大连育英杯)
7、(希望杯)
8、
9、(希望杯