实际问题与反比例函数基础知识讲解.doc
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1.21实际问题与反比例函数(基础)
【学习目标】
1.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,并能结合图象加深对问题的理解.
2.根据条件求出函数解析式,运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题,体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识.
【要点梳理】
要点一、利用反比例函数解决实际问题
1.基本思路:
建立函数模型,即在实际问题中求得函数解析式,然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.
2.一般步骤如下:
(1)审清题意,根据常量、变量之间的关系,设出函数解析式,待定的
系数用字母表示.
(2)由题目中的已知条件,列出方程,求出待定系数.
(3)写出函数解析式,并注意解析式中变量的取值范围.
(4)利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
要点二、反比例函数在其他学科中的应用
1.当圆柱体的体积一定时,圆柱的底面积是高的反比例函数;
2.当工程总量一定时,做工时间是做工速度的反比例函数;
3.在使用杠杆时,如果阻力和阻力臂不变,则动力是动力臂的反比例函数;
4.电压一定,输出功率是电路中电阻的反比例函数.
【典型例题】
类型一、反比例函数实际问题与图象
1、小明乘车从南充到成都,行车的平均速度(km/h)和行车时间(h)之间的函数图象是()
ABCD
【答案】B;
【解析】,而南充到成都的距离S为定值.
【总结升华】对于函数图象的判断题,应首先求出函数解析式,分清函数的类型,然后再选择对应的图象,同时在实际问题中应注意自变量的取值范围.
举一反三:
【变式1】在对物体做功一定的情况下,力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离S(米)成反比例函数关系,其图象如图所示,则当力达到20牛时,此物体在力的方向上移动的距离是________米.
【答案】1;
提示:
由题意知F=,当F=20时,S=1.
【变式2】在一个可以改变容积的密闭容器内,装有一定质量的某种气体,当改变容积V时,气体的密度也随之改变.与V在一定范围内满足,它的图象如图所示,则该气体的质量为( ).
A.1.4 B.5 C.6.4 D.7
【答案】D;
提示:
由题意知,当V=5时,∴,故.
类型二、利用反比例函数解决实际问题
2、某商场出售一批名牌衬衣,衬衣的进价为80元,在营销中发现,该衬衣的日销售量(件)是日销售价元的反比例函数,且当售价定为100元时,每日可售出30件.
(1)请求出关于的函数关系式(不必写自变量的取值范围);
(2)若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元,则其单价应是多少元?
【思路点拨】
(1)因为y与x成反比例函数关系,可设出函数式,然后根据当售价定为100元/件时,每天可售出30件可求出的值.
(2)设单价是元,根据每天可售出件,每件的利润是(-80)元,总利润为1800元,根据利润=售价-进价可列方程求解.
【答案与解析】
解:
(1)设所求函数关系式为,
则因为当=100时=30,所以=3000,
所以;
(2)设单价应为元,则(-80)·=1800,
解得=200.经检验=200是原方程的解,符合题意.
即其单价应定为200元/件.
【总结升华】本题考查反比例函数的概念,设出反比例函数,确定反比例函数,以及知道利润=售价-进价,然后列方程求解的问题.
举一反三:
【变式】某运输队要运300吨物资到江边防洪.
(1)根据运输时间t(单位:
小时)与运输速度v(单位:
吨/时)有怎样的函数关系?
(2)运了一半时,接到防洪指挥部命令,剩下的物资要在2小时之内运到江边,则运输速度至少为多少?
【答案】
解:
(1)由已知得vt=300.
∴t与v的函数关系式为.
(2)运了一半后还剩300-150=150(吨).
∴t和v关系式变为,将t=2代入,得,v=75.
∴剩余物资要在2小时之内运完,运输速度为每小时至少运75吨.
3、某闭合电路中,电源电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例函数.如图所示表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数关系式为()
A.B.C.D.
【答案】A;
【解析】设,由于点B(3,2)在反比例函数图象上,则有,可求得U=6.从而可求得函数关系式为.
【总结升华】从图象上可以看出,这是一个反比例函数关系的问题.电流I与电阻R成反比例关系,设,再求电压U.
4、一个圆台形物体的上底面积是下底面积的,如果将其放在桌上(如图所示),对桌面的压强是150,翻过来放,对桌面的压强是多少?
【思路点拨】由物理知识可知,压力F,压强P与受力面积S之间的关系是,因为是同一物体,F的数值不变,所以P与S成反比.
【答案与解析】
解:
设下底面积是S0,则上底面积是.
由,且时,P=150Pa,
所以F=P·S=150·=150.
因为是同一物体,所以F=150是一定值.
所以当时,.
答:
当把圆台翻过来时,对桌面的压强是200.
【总结升华】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,再运用这个函数关系式解答实际问题.
【巩固练习】
一.选择题
1.一个直角三角形的两直角边长分别为,,其面积为2,则与之间的关系用图象表示大致为().
2.日常生活中有许多现象应用了反比例函数,下列现象符合反比例函数关系的有()
①购买同一商品,买得越多,花得越多;
②百米赛跑时,用时越短,成绩越好;
③把浴盆放满水,水流越大,用时越短;
④从网上下载一个文件,网速越快,用时越少.
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.汽车油箱中有油20升,汽车行驶过程中每小时耗油升,其行驶时间(小时)与(升)之间的函数关系式为()
A.B.C.D.
4.若为圆柱底面的半径,为圆柱的高.当圆柱的侧面积一定时,则与之间函数关系的图象大致是().
5.如果变阻器两端电压不变,那么通过变阻器的电流与电阻的函数关系图象大致是( )
6.下列各问题中,两个变量之间的关系不是反比例函数的是()
A:
小明完成100赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v()之间的关系.
B:
菱形的面积为48,它的两条对角线的长为()与()的关系.
C:
一个玻璃容器的体积为30L时,所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系.
D:
压力为600N时,压强P与受力面积S之间的关系.
二.填空题
7.一定质量的氧气,密度是体积V的反比例函数,当V=8时,=1.5,则与V的函数关系式为______.
8.由电学欧姆定律知,电压不变时,电流强度I与电阻R成反比例,已知电压不变,电阻R=20时,电流强度I=0.25A.则
(1)电压U=______V;
(2)I与R的函数关系式为______;
(3)当R=12.5W时的电流强度I=______A;
(4)当I=0.5A时,电阻R=______.
9.一水桶的下底面积是桶盖面积的2倍,如果将其底朝下放在桌上,它对桌面的压强是500.翻过来放,对桌面的压强是_____________.
10.一个水池装水12,如果从水管中每小时流出的水,经过可以把水放完,那么与的函数关系式是______,自变量的取值范围是______.
11.若梯形的下底长为,上底长为下底长的,高为,面积为60,则与的函数关系是______(不考虑的取值范围).
12.一定质量的氧气,它的密度是它的体积的反比例函数,当V=20时,,当V=40时,______.
三.解答题
13.池内装有12的水,如果从排水管中每小时流出的水是,则经过小时就可以把水放完.
(1)求与的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)画出函数图象的草图.
14.2012某市经济继续保持平稳较快的增长态势,全市实现生产总值3.5206×元,已知全市生产总值=全市户籍人口×全市人均生产总值,设该市2012年户籍人口为(人),人均生产产值为(元).
(1)求关于的函数解析式;
(2)2012年该市户籍人口为706684人,求该市人均生产产值(单位:
元,结果精确到个位):
若按2012年全年美元对人民币的平均汇率计(1美元=6.76元人民币),该市人均生产产值是否已跨越6000美元大关?
15.某机床加工一批机器零件,如果每小时加工30个,那么12小时可以完成.
(1)设每小时加工个零件,所需时间为小时,写出与之间的函数关系式,画出图象;
(2)若要在一个工作日(8小时)内完成,每小时要比原来多加工几个?
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C;
【解析】由题意,得.∴.
2.【答案】C;
【解析】②③④为反比例函数,①为正比例函数.
3.【答案】C;
【解析】由,可得.
4.【答案】B;
【解析】侧面积一定,h,r成反比例,考虑到实际问题,选第一象限内的图象.
5.【答案】B;
【解析】应用物理学的知识:
U=I×R.
6.【答案】C;
【解析】因为m=ρV,当V=30时,m=30ρ,故为正比例函数.
二.填空题
7.【答案】;
8.【答案】
(1)5;
(2);(3)0.4;(4)10.
9.【答案】1000
【解析】压强与面积的乘积是一个定值.
10.【答案】;>0;
11.【答案】;
12.【答案】0.68;
三.解答题
13.【解析】
解:
(1)由已知条件,得.
(2)如图所示.
14.【解析】
解:
(1)因为人均生产产值等于生产总值除以人口总数,所以(为正整数);
(2)因为2012年全市人均生产产值=≈49819(元).
而,
所以该市2012年人均生产产值已成功跨越6000美元大关.
15.【解析】
解:
(1)需加工的零件数为30×12=360(个).
与之间的函数关系式为.
图象如图所示.
(2)当=8时,=360÷8=45,45-30=15.
∴要在8小时内完成,每小时比原来要多加工15个.