二次函数yax2+bx+c的图像及性质Word文件下载.docx
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利用配方法或公式法将二次函数化为y=a（x-h）2+k的形式，确定其顶点（h，k），然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到（h，k）.
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质
1.函数y=ax2（a≠0）的图象与性质：
函数
a的符号
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最大（小）值
y=ax2
a>
向上
（0，0）
y轴
x>
0时，y随x增大而增大
x<
0时，y随x增大而减小
当x=0时，
y最小=0
a<
向下
y最大=0
2.函数y=ax2+c（a≠0）的图象及其性质:
（1）当a>
0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为（0，c），当x=0时，y最小=c
（2）当a<
0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为（0，c），当x=0时，y最大=c
3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质：
二次函数y=ax2+bx+c（a≠，
对称轴是直线
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
性质
（1）当a>
0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点是它的最低点.
（2）在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升.
（1）当a<
0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，顶点是它的最高点.
（2）在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右上升；
在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.
知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用
a，b，c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征
a
1.决定抛物线的开口方向；
2.决定增减性
开口向上
开口向下
c
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为（0，c）
c>
交点在x轴上方
c=0
抛物线过原点
c<
交点在x轴下方
决定对称轴的位置，对称轴是直线
ab>
对称轴在y轴左侧
ab<
对称轴在y轴右侧
b2-4ac
决定抛物线与x轴公共点的个数
b2-4ac>
抛物线与x轴有两个交点
b2-4ac=0
顶点在x轴上
b2-4ac<
抛物线与x轴无公共点
【典型例题】
题型一：
的图象和性质
例1、一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点〔1，1〕，求这条抛物线的函数关系式．
例2、
在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象.
由图象思考以下问题：
〔1〕抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
〔2〕抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
〔3〕抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？
〔4〕抛物线与同有什么关系？
例3、二次函数，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？
写出其函数关系式．
变式训练：
1、函数，，．
〔1〕分别画出它们的图象；
〔2〕说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
〔3〕试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
2、不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数通过怎样的平移得到的．
3、假设二次函数的图象经过点〔-2，10〕，求a的值．这个函数有最大还是最小值？
是多少？
题型二：
例1、不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?
例2、函数，，．
〔1〕在同一直角坐标系中画出它们的图象；
〔2〕分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
〔3〕分别讨论各个函数的性质．
例3、根据上题的结果，试说明：
分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？
1、函数，当x时，函数值y随x的增大而减小．当x时，函数取得最值，最值y=．
2、不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系．
3、将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点〔1，3〕，求的值．
题型三：
+k的图象和性质
例1、把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值．
例2、把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为．
例3、在同一直角坐标系中，画出以下函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
1、抛物线可由抛物线向平移个单位，再向平移个单位而得到．
2、将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．
3、将抛物线如何平移，可得到抛物线？
4、抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值．
题型四、的图象和性质
例1、通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
例2、抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．
例3、抛物线，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．
例4、利用配方法，把以下函数写成+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．〔1〕〔2〕
〔3〕〔4〕
1、〔1〕二次函数的对称轴是．
〔2〕二次函数的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．
〔3〕抛物线的顶点横坐标是-2，那么=．
2、抛物线的顶点是，那么、c的值是多少？
3、是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
〔1〕求k的值；
〔2〕求开口方向、顶点坐标和对称轴．
4、当时，求抛物线的顶点所在的象限．
5、抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标．
题型五、的最大或最小值
例1、求以下函数的最大值或最小值：
〔1〕；
〔2〕．
例2、某产品每件本钱是120元，试销阶段每件产品的销售价x〔元〕与产品的日销售量y〔件〕之间关系如下表：
x〔元〕
130
150
165
y〔件〕
70
50
35
假设日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？
此时每日销售利润是多少？
例3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．〔1〕假设商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
〔2〕每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
1、对于二次函数，当x=时，y有最小值．
2、二次函数有最小值–1，那么a与b之间的大小关系是〔〕
A．a＜bB．a=bC．a＞bD．不能确定
3、求以下函数的最大值或最小值:
4、二次函数的最小值为1，求m的值．，
5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x〔单位：
分〕之间满足函数关系：
．y值越大，表示接受能力越强．
〔1〕x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？
x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
〔2〕第10分时，学生的接受能力是多少？
〔3〕第几分时，学生的接受能力最强？
6、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙〔墙的最大可用长度a为10m〕，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
〔1〕求S与x的函数关系式；
〔2〕如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
〔3〕能围成面积比45m2更大的花圃吗？
如果能，请求出最大面积，并说明围法；
如果不能，请说明理由．
题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式
例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
例2、根据以下条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
〔1〕二次函数的图象经过点A〔0，-1〕、B〔1，0〕、C〔-1，2〕；
〔2〕抛物线的顶点为〔1，-3〕，且与y轴交于点〔0，1〕；
〔3〕抛物线与x轴交于点M〔-3，0〕、〔5，0〕，且与y轴交于点〔0，-3〕；
〔4〕抛物线的顶点为〔3，-2〕，且与x轴两交点间的距离为4．
例3、二次函数的图象经过点A〔-1，12〕、B〔2，-3〕，
〔1〕求该二次函数的关系式；
〔2〕用配方法把〔1〕所得的函数关系式化成的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
例4、二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P〔2，m〕、Q〔n，-8〕，如果抛物线的对称轴是x=-1，求该二次函数的关系式．
1、根据以下条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
〔1〕二次函数的图象经过点〔0，2〕、〔1，1〕、〔3，5〕；
〔2〕抛物线的顶点为〔-1，2〕，且过点〔2，1〕；
〔3〕抛物线与x轴交于点M〔-1，0〕、〔2，0〕，且经过点〔1，2〕．
2、二次函数图象的对称轴是x=-1，与y轴交点的纵坐标是–6，且经过点〔2，10〕，求此二次函数的关系式．
3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如下列图，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
4、二次函数，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．
5、抛物线过点〔2，4〕，且其顶点在直线上，求此二次函数的关系式．
【随堂练习】
1、二次函数y=ax2＋bx2＋c的图象如下列图，那么a0，b0，c0〔填“＞〞或“＜〞＝．〕
2、二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的〔〕
3、在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=的图象大致是图中的〔〕
4、如下列图的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标
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