新高考数学必刷压轴题专题22三点共线充要条件的应用Word下载.docx

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当，且时

∵三点共线

∴，故，，

在，，

.

当时，，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去.

故答案为：

0或.

例2在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是（）

A．9B．10C．11D．12

【答案】D

【分析】使用“三点共线”的向量充要条件，探究出m、n间的等量关系，再使用基本不等式求解.

【解析】因为，

所以

又因为B、P、E三点共线

所以m＋3n=1

所以，当且仅当时，“=”成立

所以的最小值是12．

例3已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为_______.

【答案】

【分析】凑系数使其代数和为1，，取、，即，而可得M、E、F三点共线.再由极化恒等式得（其中D是BC的中点），，所以的最小值为.

例4在平面直角坐标系中，和是圆上两点，且，点P的坐标为（2,1），则的取值范围为.

【分析】设，

则

如图，延长至，使

为求的取值范围，只需求点的轨迹.

遇到圆的弦想中点、垂径定理，取中点为，设

中，，，故，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆

∴，即的取值范围为.

点评：

（1）本题的关键是:

逆用三点共线的充要条件,构造出向量，其起点为定点，转化为探究终点轨迹问题；

（2）遇到圆的弦，应联想“取中点、垂径定理”；

（3）已知条件不变，若所求变为求的取值范围，此时应设，则，想一想，为什么？

例5若是锐角的外心，，，，，则.

【分析】由得，将变形为.如图，作，，则三点共线，且.

在，，，故.

O

A

C

B

D

E

例6已知中，,且的最小值为，若为边上任意一点,则的最小值是.

【解析】由条件，

设，则，其系数和为1

设，则，故三点共线

由的最小值为，即点到的距离是

故

中，由余弦定理得,设的中点为，由极化恒等式得，而.

∴的最小值是.

【巩固练习】

1.如图，在中，已知点是延长线上一点，点是的中点，若，且，则.

2.如图，在平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则实数（）

3.正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为.

4.在平面直角坐标系中，是圆上两动点，且，点坐标为，则的取值范围为．

5.已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______.

6.在四边形中，.若，则．

7.在△ABC中，D为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则等于（　　）

A.＋B.＋C.＋D.＋

8.在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设＝x，＝y（xy≠0），则4x＋y的最小值是________．

9.在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（）

A．1B．2C．D．

10.已知点是的外心，且，，若，则的值为.

【答案与提示】

1.【答案】

【解析】因为是的中点

所以，即

因为三点共线，所以，.

2.【答案】A

【分析】从三点共线入手，将用线性表示，再转化为目标向量，比较系数即可.

【解析】∵三点共线

∴（其中）

又，

所以，解之得，选A.

3.【答案】

【解析】根据题意，，∴的终点在线段BC上，

∴，∴，∴；

又O是MN的中点，∴，

∴，

∴

，

∴的最小值是．

4.【答案】

【简析】设，则，

如图，，设

则，由勾股定理得，故．

5.【答案】

【分析】由可得在线段上，故，而，有基本不等式立得.

【解析】由，得，

因为，所以在线段上

所以，

又因为，

则（当且仅当，即P为CM中点时，“=”成立）．

故的最小值是．

6.【答案】－16

【解析】由中向量满足“共起点，系数和为1”联想到“三点共线”

设E为上一点，且，则

所以，则四边形是平行四边形，

所以.

7.【答案】　A

【解析】　如图，设＝λ（λ>

0），

又＝＋＝＋，

∴＝λ＋λ＝λ＋λ.

又B，O，D三点共线，∴λ＋λ＝1，

∴λ＝，∴＝＋.

8.【答案】　

【解析】　由D为BC的中点知，＝＋，

又＝x，＝y（xy≠0），E为AD的中点，

故＝＝＋，

∵M，E，N三点共线，∴＋＝1，

∴4x＋y＝（4x＋y）＝＋＋

≥2＋＝，

当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．

∴4x＋y的最小值为.

9.【答案】B

【分析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为，结合的最小值为列方程求解即可.

【解析】

因为点是的三等分点，则，

又由点三点共线，则，

当且仅当时，等号成立，

即的最小值为，则有,

解可得或（舍），故，

故选：

B.

10.【答案】

【提示】解法同例5.