点集拓扑学的基本概念Word文件下载.docx

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度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间。

事实上，“度量”的概念就是对从欧几里得距离的四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。

欧几里得度量定义了在两个点之间的距离为连接它们的直线的长度。

空间的几何性质依赖于所选择的度量，通过使用不同的度量我们可以构造有趣的非欧几里得几何，比如在广义相对论中用到的几何。

度量空间还引发拓扑性质如开集和闭集，这导致了对更抽象的拓扑空间的研究。

【性质】

度量空间是元组（M,d），这里的M是集合而d是在M上的度量（metric），就是函数

使得

∙d（x,y）≥0（非负性）

∙d（x,y）=0当且仅当x=y（不可区分者的同一性）

∙d（x,y）=d（y,x）（对称性）

∙d（x,z）≤d（x,y）+d（y,z）（三角不等式）。

函数d也叫做“距离函数”或简单的叫做“距离”。

经常对度量空间省略d而只写M，如果在上下文中可明确使用了什么度量。

不要求第二、第三或第四个条件分别导致伪度量空间、准度量空间或半度量空间的概念。

第一个条件实际上可以从其他三个得出:

2d（x,y）=d（x,y）+d（y,x）≥d（x,x）=0.

它做为度量空间的性质更恰当一些，但是很多课本都把它包括在定义中。

某些作者要求集合M非空。

—作为拓扑空间的度量空间

把度量空间处理为拓扑空间相容得几乎都成为定义的一部分了。

对于任何度量空间M中的点x，我们定义半径r（>

0）的关于x的开球为集合。

这些开球生成在M上的拓扑，使它成为拓扑空间。

明显的，M的子集被称为开集，如果它是（有限或无限多）开球的并集。

开集的补集被称为闭集。

以这种方式从度量空间引发的拓扑空间叫做可度量化空间

因为度量空间是拓扑空间，在度量空间之间有连续函数的概念。

这个定义等价于平常的连续性的ε-δ定义（它不提及拓扑），并可以使用序列的极限直接定义。

开集

在拓扑学和相关的数学领域中，集合U被称为开集，如果在直觉上说，从U中任何一点x开始你可以在任何方向上稍微移动一下而仍处在集合U中。

换句话说，在U中任何点x与U的边界之间的距离总是大于零。

例如，实数线上的由不等式规定的集合称为开区间，是开集。

这时候的边界为实数轴上的点2和5，如由不等式，或者规定的区间由于包含其边界，因此不能称之为开集。

开集是指不包含自己边界点的集合。

或者说，开集把它所包含的任何一点的充分小的邻域也包含在其自身之中。

开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的，通常先公理化开集，然后通过其定义边界的概念。

满足x2+y2=r2的点（x,y）着蓝色。

满足x2+y2<

r2的点（x,y）着红色。

红色的点形成了开集。

红色和蓝色的点的并集是闭集

【定义】

可以按不同的一般性程度来形式化开集的概念。

函数分析

在Rn中点集是开集，如果在这个集合的所有点P都是内部点。

—欧几里得空间

n维欧几里得空间Rn的子集U是开集，如果给定任何在U中的点x，存在一个实数ε>

0使得，如果给定任何Rn中点y，有着从x到它的欧几里得距离小于ε，则y也属于U。

等价的说，U是开集，如果所有U中的点有包含在U中的邻域。

—度量空间

度量空间（M,d）的子集U是开集，如果给定任何U中的点x，存在一个实数ε>

0使得，如果给定任何M中的点y，有d（x,y）<

ε，则y也属于U。

（等价的说，U是开集，如果所有U中的点有包含在U中的邻域。

）

这推广了欧几里得空间的例子，因为带有欧几里得距离的欧几里得空间是度量空间。

—拓扑空间

在拓扑空间中，开放性概念被选取为基础性的。

你可以开始于任意集合X和满足假定有所有“合理”开放性概念的特定性质的X的子集族。

这种子集族T被叫做X上的“拓扑”，而这个集合族的成员被叫做拓扑空间（X,T）的开集。

注意开集的无限交集不必须是开集。

可以构造为可数多个开集的交集的集合被指示为Gδ集合。

开集的拓扑定义推广了度量空间定义：

如果你开始于一个度量空间并如上定义开集，则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。

所有度量空间因此以自然方式是拓扑空间。

（但有不是度量空间的拓扑空间。

1.空集是开集（注意空集也是闭集）

2.任意个开集的并集是开集

3.有限个开集的交集是开集

【举例】

1.度量空间（X,d）中，以点为中心，为半径的球体为开集，任意的开集A包含以为中心，充分小的为半径的球体；

2.流形中的开集为子流形。

【用处】

开集在拓扑学分支中是基础重要性的。

需要这个概念来定义拓扑空间和处理空间如度量空间和一致空间中的邻近性与收敛概念的其他拓扑结构并使其有意义。

所有拓扑空间X的子集A都包含一个（可能为空）开集；

最大的这种开集被叫做A的内部。

它可以通过选取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间X和Y，从X到Y的函数f是连续的，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。

映射f被叫做开映射，如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。

在实直线上开集有它是不相交开区间的可数并集的特征性质。

闭集

在拓扑空间中，闭集是指其补集为开集的集合。

由此可以引申在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。

不要混淆于闭流形。

闭集包含其自身的边界。

换句话说，这个概念基于“外部”的概念，如果你在一个闭集的外部，你稍微“抖动”一下仍在这个集合的外部。

注意，这个概念在边界为空的时候还是真的，比如在有理数的度量空间中，对于平方小于2的数的集合。

任意多个闭集的交集是闭集；

有限多个闭集的并集是闭集。

特别的，空集和全空间是闭集。

交集的性质也被用来定义空间X上的集合A的闭包，即X的闭合子集中最小的A的父集。

特别的，A的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。

1.单位区间[0,1]在实数上是闭集。

2.集在有理数上是闭集，但在实数上并不是闭集。

3.有些集合既不是开集也不是闭集，如实数上的半开区间[0,1）。

【细说】

上述闭集的定义是根据开集而来得，这一概念在拓扑空间上是有意义的，同时也适用于含有拓扑结构的其他空间，如度量空间、可微流形、一致空间和规格空间。

另一种对闭集的定义是通过序列。

拓扑空间X上的子集A是闭合的，当且仅当A的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于A。

这一表述的价值在于，它可以用在收敛空间的定义中，而收敛空间比拓扑空间更普通。

注意，这一表述仍然依赖背景空间X，因为序列是否在X中收敛依赖于X中的点。

集合是否是闭合的通常取决于它所在的空间。

然而在某种意义上，紧致的豪斯多夫空间是“绝对闭合的”。

精确地说，将紧致的豪斯多夫空间K放在任意豪斯多夫空间X中，K总是X的一个闭合子集；

这和“背景空间”没有关系。

实际上，这个性质刻画了紧致的豪斯多夫空间。

内部

点x是S的内部点，因为它包含在S内并有一个开球围绕着它。

点y在S的边界上。

数学上，集合S的内部（又称开核）含有所有直观上“不在S的边界上”的S的点。

S的内部中的点称为S的内点。

内部的概念在很多情况下和闭包的概念对偶。

内点

令S为欧几里得空间的子集。

若存在以x为中心的开球被包含于S，则x是S的内点。

这个定义可以推广到度量空间X的任意子集S。

具体地说，对具有度量d的度量空间X，x是S的内点，若对任意r>

0，存在y属于S，且d（x,y）<

r。

这个定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”。

设S是拓扑空间X的子集，则x是S的内点，若存在x邻域被包含于S。

注意，这个定义并不要求邻域是开的。

—集合的内部

集合S的内部是S的所有内点组成的集合。

S的内部写作int（S）、Int（S）或So。

集合的内部满足下列性质：

∙int（S）是S的开子集。

∙int（S）是所有包含于S的开集的并集。

∙int（S）是包含于S的最大的开集。

∙集合S是开集，当且仅当S=int（S）。

∙int（int（S））=int（S）。

（幂等）

∙若S为T的子集，则int（S）是int（T）的子集。

∙若A为开集，则A是S的子集，当且仅当A是int（S）的子集。

有时候，上述第二或第三条性质会被作为拓扑内部的定义。

∙在任意空间，空集的内部是空集。

∙对任意空间X,int（X）=X.

∙若X为实数的欧几里得空间R，则int（[0,1]）=（0,1）。

∙若X为实数的欧几里得空间R，则有理数集合Q的内部是空集。

∙若X为复平面C=R2，则int（{z属于C 

:

|z|≥1}）={zinC 

|z|>

1}。

∙在任意欧几里得空间，任意有限集合的内部是空集。

在实数集上，除了标准拓扑，还可以使用其他的拓扑结构。

∙若X=R，且R有下限拓扑，则int（[0,1]）=[0,1）。

∙若考虑R中所有集合都是开集的拓扑，则int（[0,1]）=（0,1）。

∙若考虑R中只有空集和R自身是开集的拓扑，则int（[0,1]）是空集。

上述示例中集合的内部取决于背景空间的拓扑。

接下来给出的两个示例比较特殊。

∙在任意离散空间中，由于所有集合都是开集，所以所有集合都等于其内部。

∙在任意不可分空间X中，由于只有空集和X自身是开集，所以int（X）=X且对X的所有真子集A，int（A）是空集。

闭包

数学上，集合S的闭包包含了所有“靠近S”的点。

S的闭包中的点称为S的闭包点。

闭包的概念和内部的概念对偶。

—闭包点

对欧几里得空间的子集S，若所有以x为中心的开球都包含S的点（这个点也可以是x），x是S的闭包点。

具体地说，对具有度量d的度量空间X，x是S的闭包点，若对所有r>

0，存在y属于S，使得距离d（x,y）<

r（同样的，可以是x=y）。

另一种说法可以是，x是S的闭包点，若距离d（x,S） 

=inf{d（x,s） 

s属于S}=0（这里inf表示下确界）。

设S是拓扑空间X的子集，则x是S的闭包点，若所有x邻域都包含S的点。

注意，这个定义并不要求邻域是开