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指导老师：

摘要：

鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理,在解决数学问题时有非常重要的作用.本文叙述了鸽巣原理的简单形式和加强形式并对其进行了证明.然后,本文着重介绍了几种常见的构造法以及鸽巣原理在数学方面的一些简单应用.

关键词：

鸽巣原理；

鸽巣；

构造法

0引言

鸽巣原理又名抽屉原理或狄利克雷原理,它由德国数学家狄利克雷（Divichlet，1805—1855）首先发现.鸽巣原理在组合学中占据着非常重要的地位,并且在数论和密码学中也有着广泛的应用.使用鸽巣原理解题的关键是巧妙构造鸽巣,即如何找出合乎问题条件的分类原则.

什么是鸽巣原理,先从一个简单的例子入手,把3个苹果放在2个盒子里,共有四种不同的放法,如下表：

放法

盒子1

盒子2

1

3

2

4

无论哪一种放法,都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”.这个结论是在“任意放法”的情况下,得出的一个“必然结果”.

类似的,如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子.

如果有6封信,任意投入5个信箱里,那么一定有一个信箱至少有2封信.

我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣,可以得到鸽巣原理最简单的表达形式.

1.鸽巣原理

1.1鸽巣原理的简单形式

定理1把个物体放入个盒子里,则至少有一个盒子里含有两个或两个以上的物体.

证明假设这个盒子中的每一个都至多含有一个物体,则物体的总数最多是,与物体总数是矛盾.

还存在一些与鸽巣原理相关的其他原理,叙述如下：

（1）如果将个物体放入个盒子里并且没有一个是空的,那么每个盒子恰好包含一个物体.

（2）如果将个物体放入个盒子里并且没有一个盒子被放入多于一个的物体,那么每个盒子包含一个物体.

1.2鸽巣原理的加强形式

定理2令为正整数如果将个物体放入个盒子,那么,或者第一个盒子至少含有个物体,或者第二个盒子至少含有个物体,…,或者第个盒子至少含有个物体.

证明对于假设第个盒子里至多含有个物体,则个盒子里物体数的总和不超过,与已知条件矛盾.

推论1只鸽子放入个鸽笼,则至少有一个鸽笼中有只鸽子.

证明在定理1.2中令即可.

推论2设均为正整数,且满足

，

则中至少有一个数不小于.

证明由得

.

由推论1可知,存在使得

2.鸽巣原理的鸽巣构造法

鸽巣的构造方法大致分为两大类：

一类是分割图形构造鸽巣；

一类是用分类的概念构造鸽巣.

2.1分割图形构造鸽巣

在涉及到一个几何图形内有若干点时,常常是把图形巧妙的分割成适当的部分,用分割所得的小图形做鸽巣.这种分割一般符合一个“分化”的定义,即鸽巣间的元素既互不重复,也不遗漏；

但有时根据解题需要,分割也可使鸽巣之间含有公共元素.

例1在边长为2的正三角形中任意放五个点,证明至少有两个点之间的距离不大于1.

证明〈方法一〉如图

（1）所示,在三角形三条边的中点之间连线,把整个三角形划分成四个边长为1的小三角形.由鸽巣原理,5个点中至少有两个点落如同一个小三角形里,而这两个点之间的距离一定小于等于1.

〈方法二〉如图

（2）所示,以正三角形三顶点为中心,分别作半径为1的圆弧,把正三角形划分为四块.由鸽巣原理,5个点中至少有两个点落如同一个小三角形里,两个点之间的距离一定小于等于1.

图

（1）图

（2）

例2如果直径为5的圆内有10个点,其中有某两个点的距离小于2.

证明先将圆分成8个全等的扇形,中间作一个直径的圆（如图（3））,把已知的圆分成了9个区域（鸽巣）.由鸽巣原理,圆内的10个点,必有两点落在同一区域内,只需证明每个区域中的两个点距离都小于2.

显然,小圆内任两点间的距离小于2,又曲边扇形中,﹤2,而任两点距离最大者,有

图（3）

2.2等分区间构造鸽巣

如果在长度为1的区间内有多于个的点,可考虑把区间等分成个子区间,由鸽巣原理知,一定有两点落在同一子区间,它们之间的距离不大于.这种构造法常用于处理一些不等式的证明.

例3已知11个数,全满足,.证明必有两个

满足.

证明如图

（1）,将实数轴上介于0与1那段（连同端点）等分为10小段（亦可称为区间,即鸽巣）,每小段长为.由鸽巣原理,11个点中至少有个点落在同一条小线段上,设为,这两点相应的数之差的绝对值.

图（4）

注表示大于等于的最小整数.

2.3分组构造鸽巣

利用这种构造法解题,确定分组的“对象”很关键.确定了“对象”之后,其个数相对于“球”的个数而言,又往往显得太多.只有把这些“对象”分成适当数量的组（即鸽巣）后才能应用鸽巣原理.

例4由小于100的27个不同的奇数组成的集合中必有两个数,其和为102.

证将小于100的所有奇数分为26个组（鸽巣）：

因为有27个奇数,,所以由鸽巣原理,必有两个奇数落在同一鸽巣里,这两个数之和恰好等于102.

例5在个小于等于的不相等的正整数中,一定存在两个数是互素的.

证明先证明以下的事实：

任何两个相邻的正整数是互素的.

用反证法.假如与有公因子,则有

是整数.

因此得,即,这与是整数矛盾.

把分成以下组:

,…,.从中任取个不同的数,由鸽巣原理可知至少有两个数是取自同一组的,它们是相邻的数,所以是互素的.

2.4按余数分类构造鸽巣

涉及自然数的问题,有时常用对模同余分类法,构造个鸽巣,以为模,可以将全体自然数分为｛余数为0的自然数｝,｛余数为1的自然数｝,…,｛余数为的自然数｝,共个鸽巣.

例6任取4个自然数,其中必有两个数的差是3的倍数.

证明任意一个自然数被3除所得的余数只能是三种,根据所得余数,可以把所有自然数分为三类:

｛余数为0的自然数｝，｛余数为1的自然数｝，｛余数为2的自然数｝，把它们看做3个鸽巣,余数相同的自然数在同一个鸽巣里.

由鸽巣原理,任取4个数必有两个数出自同一鸽巣里,也就是这两个数除以3,所得余数相同.所以用大数减去小数,他们的差就是3的倍数.

一般的,任给个自然数,其中必有两个数的差是的倍数.[4]

证明任意一个自然数被出所得的余数只能是共种,根据所得余数,可以把所有自然数分为类：

｛余数为0的自然数｝，｛余数为1的自然数｝,…,｛余数为的自然数｝，把它们看做个鸽巣,余数相同的自然数在同一个鸽巣里.

由鸽巣原理,任取个数必有两个数出自同一鸽巣,也就是这两个数除以所得的余数相同.所以用大数减去小数,他们的差就是的倍数.

例7任意给定12个不同的自然数,证明其中必有两个数的和或差是20的倍数.

证明将自然数按照除以20所得的余数分类,得共20类.任意给定的12个不同的自然数,若有两个数落在同一类（即两个数除以20所得的余数相同）,那么它们的差是20的倍数,结论成立.

若任意给定的12个不同的自然数中,每两个数都不在同一类,也就是按上面分的20类中每一类至多有一个已知数（也可以没有）.此时,将自然数按照除以20所得的余数分类,则分为11类:

,,…,,,.每一类当作一个鸽巣,它们的和是20的倍数.

一般的,任取个不同的自然数,则必有两个数的和或差是的倍数.

证明设所给的自然数是,有

,

则个自然数的余数,分为种情况,可看作个鸽巣,必有两个数，属于同一个鸽巣,即.

（1）当时,是的倍数；

（2）当时,是的倍数.

综合

（1）、

（2）可知,该命题成立.

例8设是个正整数,证明其中存在着连续的若干个数,其和是的倍数.

证明设,我们把除以的余数记作,.如果存在,使得,则可以被整除.如果对于所有的,都有,那么个只能有共种可能的取值,由鸽巣原理知,必存在和满足,.因此有

可以被整除.

2.5用转化的方法构造鸽巣

用转化的方法构造鸽巣就是通过某种对应方法或变换手段,把原问题转化为更易求解的新问题,一旦新为题解决,原问题随之得解.

例9在中任取个不同的数,证明至少有一个数是另一个数的倍数.

证明任何的正整数都可以表成的形式,其中是自然数（包括0）,为奇数.

设选出的个数为,把它们依次表为,,…,,其中是个奇数,它们的取值只有种可能,即.由鸽巣原理,必存在和使得.我们考虑和,不妨设,则有.这就证明了是的倍数.

例10任意六个人中,必有三人彼此认识,或有三人彼此不认识.

证明在平面上用六个点表示六个人,若两个人彼此认识则在代表他们的两点间连一红边,否则连一蓝边,如果把各对点都用红或蓝边连接后,我们得到一个2色6阶完全图.于是问题转化为：

证明2色6阶完全图中一定存在单色三角形,即三边皆同色的三角形.因为点与其余5个点的5条连线只能是红色或蓝色,因,由鸽巣原理知,其中至少有三条同色,不妨设皆为红色.如果中有某1条（比如）是红色的,则有一个红边三角形（如下图（5））；

如果都是蓝色,则有一个蓝边三角形（如下图（6））.总之,至少有一个单色三角形.

图（5）图（6）

注对于例10这种关于个对象以及这个对象之间的若干种关系的问题,可以把这个对象用点来表示,对象之间的关系用某种边来表示,从而把问题转化为有关图论的问题,这种方法也称做图论方法.

3.鸽巣原理的简单应用

鸽巣原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用.应用鸽巣原理的基本思想是根据不同问题自身特点,洞察问题本质,先弄清对哪些元素进行分类,找出分类的规律,即构造鸽巣,这是应用鸽巣原理的关键.

3.1应用鸽巣原理证明不等式

我们知道个苹果放入个鸽巣里,必然有一个鸽巣里至少有2个苹果.这是一个鸽巣原理的简单应用.妙用鸽巣原理,证明某些不等式,能起到神奇的效果.下面给出几个例子.

例11若为正数，求证：

证明设,则原不等式等价于，若正数,,满足,则有不等式，即.①

注意到,于是一定在中有两个同时不小于1，或者不大于1,不妨设和,则有

下面,我们采用