换元法在代数解题中的应用方丽颖Word文档格式.doc
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换元的实质就是转化,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,使问题得到简化的一种解题方法.换元法的基本思想是通过变量代换,使原问题化繁为[1]简,化难为易,使问题发生有利的转化,从而达到解题目的.常见的换元法有两种:
（1）设F（x）是一个比较复杂的表达式,如果F（x）可以表示为一个以Ψ（t）为中间变量的复函数,则可以设Ψ（t）=u,于是F（x）=G（Ψ（t））=G（u）.如果G（u）比F（x）容易解决,这里的换元就起了化繁为简的作用.这是第一种换元法.
（2）设F（x）是一个比较复杂的表达式,为了解题的需要,设x=Φ（t）,于是F（x）=F（Φ（t））=Γ（t）.只要Γ（t）比较容易解决,同样也能起到化难为简的作用.这是第二种换元法。
三、换元法的关键
利用换元法解数学题的关键在于适当地选择"
引进适当的代换,找到较容易的解题思路,能使问题简化.
四、换元法的基本思路
即把未知问题转化为已知问题,把复杂问题转化为简单问题,把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
五、换语法的一般步骤
①设元（或构造元）②求解③回代④检验
六、常见的换元方法及技巧
（一）整体换元法
例1.求同时满足下列条件的所有复数Z：
⑴Z+＜Z+≤6；
⑵z的实部和虚部都是整数。
解:
设Ｚ+=m，得z-mz+10=0，
由⑴知mR且1＜m≤6，
m-40＜0，由求根公式得Z=i，
由z的实部和虚部都是整数，m只能取2、6两个值，
因此满足条件的所有复数是Z=13i或3i。
注：
此题若用化为实数求解，需分类讨论。
此处采用整体换元，将问题转化为一元二次方程来探求，巧妙的回避了讨论。
例2.已知,求和.
分析：
求和,即求该复合函数的解析表达式.首先要明确该复合函数的意义,
=3+4
=3+4
=+4=3（=9x+16
}=3+4
由于=9x+16,
所以要将9x+16看作一个整体去置换3+4中的即具体是将去置换原函数解析式中的x,从而得到的解析表达式.
=3+4=3（）+4=27x+52
注：
此题的目的是加强换元意识中的“整体观”,已知条件的一部分有机联系起来,看成是一个整体,然后进行整体的置换。
（二）局部换元法
例3.分解因式.
分析用传统方式先去括号,再做分解工作量很大,在此可以把看作整体.
设,则
原式=+
=+2ab+-1
=-1
=
=
本题用的是"
局部换元法"
.从式子的特征看,把及各看作一个整体用a和b进行换元,可使问题简化.
（三）三角换元法
例4.解不等式x+1＞x
设x=tan（-＜＜），
则原不等式可化为tansec＞-1+tan，
即2sin-sin-1＜0，
解得-＜sin＜1，
-＜＜，
tan＞-，
原不等式的解集为｛x∣x＞-｝。
三角换元一般是利用三角函数的值域或同角三角函数的关系问题，其应用相当的广泛。
（四）和差换元
例5.若-4=0,求证：
x、y、z成等差数列。
证明：
令x=，z=，
代入已知等式得-4=0,
即=0，a=y，=2a=2y，
故成等差数列。
（五）参数换元法
例6.如果实数x、y满足等式+y=3,求的最大值。
解：
令=k，则y=表示圆上的点与原点连线的斜率，
直线y=与园有公共点的充要条件是≤，
解得≤。
（六）增值换元
例7.在复数集C中解方程：
++=2.
令t==2，
则原方程变为=2，
展开整理得t=0，
x=x=-2，x=-2+2i，x=-2-2i。
通过均值换元，巧妙的将高次方程化归为只含偶次幂的方程。
（七）增量换元
例8.已知a、b且=1，求证：
≥。
由a、b且=1，
可设a=+t，b=-t,
则=
≥
=，
当且仅当a=b=时等号成立。
（八）增次换元
例9.解不等式＞x+1。
令=t，则x=，
原不等式可化为＞+1，
即＜0，
t＜9，
＜9，x＜2，
又≥0，x≥-，
故原不等式的解集为-≤x＜
此法适用于所有形如或＜的不等式。
（九）降次换元
例10.已知+=1,求证：
+=1。
设A=a,B=b,
则由已知得，，
即=，
整理得，a=b，
+=
=1
降次换元，可以化三角问题为代数问题，过程比较简洁。
（十）增元换元
例11.若==且++=1，求证:
=++.
令===k，
则=，=，=，
==
=++，
命题得证。
对于连等式或者连比式的题目，一般采用增元换元的方法，从而将相互依存的各参数或变量分离开来，使结构关系明朗化，变换起来更简便。
（十一）对称换元
例12.设n且+=-1，求的值。
由条件+=2（-），
故设=--d，=-+d，
由得，
，
解得d=。
若d=，则=-1，=0；
若d=-，则=0，=-1，
=。
对形如=2c型的结构式可考虑构造等差数列的形式，然后进行对称换元。
七、换元中应注意的问题
换元法是中学数学的一种重要的解题方法.通过换元,可使非标准话问题标准化,复杂的问题简单化.由于这种方法应用较广,并且分布在中学数学的不同章节,不同问题中,学生学习时往往只会孤立地运用这种方法,机械地照抄照搬,对于何时能用换元法,何时不能用,用换元法需要注意哪些问题不太明确.因此,应用时难免出现方法不灵活,甚至出现错用的现象.
八、换元法在具体问题中的应用
（一）换元法在递推数列问题中的应用
在递归数列问题的解决中，当题目给出的数列的一般规律难以寻觅时，可考虑换元法，用一个规律明朗的数列作代换，从而使问题得到解决。
下面用两个例子来说明。
例1.
由循环公式=1=定义，其中n=1、2、3……
（1）
求通项公式。
虽然由条件不难算出数列的前几项=1，=，=，=……但仅就此而言，一时很难发现数列的变化规律。
对于循环公式
（1），也许可以作出这样的猜测：
根式是个难处，如果从这里下手会怎样呢？
设=，则=
由=1，=，=，=，
可立即得到=5+3+2;
4+3+1,=3,=3,这样便容易看出新数列的通项公式为=3+
（2）
下面用归纳法加以证明。
（ⅰ）n=1时，命题显然成立；
（ⅱ）假设n=K时
（2）式成立，即=3+；
（ⅲ）则n=K+1时，
-=
整理化简得===3+
的通项公式为=3+，
因此可得=
=+2+
例2.数列满足=2+﹙n=1，2，3……﹚时，试证可以确定适当的数a，该不等式≤对于一切的n=1，2，3……成立。
≤≤
（1）
将=2+两边同时乘以，便可得到=+这使我们自然想到作代换=。
因为由=+可得=+。
设=，则=+，
由此可得=+
=+-
此时不难发现且易证，取a=+
则=≤
亦即≤对任意n=1，2，3……成立。
（二）换元法在解方程（组）中的应用
1.用换元法解分式方程
如何将分式方程转化成整式方程是解分式方程的关键。
换元是转化的一个基本途径，但换元法不是解分式方程的一般方法，它是以所讨论方程的特有性质为依据的，是解一些特殊方程的特殊方法。
这种方法灵活性大，技巧性强，不同的方程就有不同的换元方法。
因此要多观察，巧分析，并注意方法的总结。
一般的分式方程（组）换元有一下几种类型：
（1）方城中有重复出现的分式时，可直接换元。
这是比较简单的一种类型。
（2）利用方程中代数式互为倒数的关系换元。
例1解方程-+=0
方程中含一个分式，如果去分母来解，就会出现四次式。
观察方程的特点，方程多项式中含有。
因此，可令=y进行换元。
令=y，
原方程变为y+7+=0，
整理得
解之得，=-2=-5.
当=-5时，+5=0，＜0，无实根，舍去。
当=-2时，+2=0，解之得=2，=1
经检验，=2，=1都是原方程的根。
例2解方程：
方程中含两个分式，观察到方程左边两个分式互为倒数，抓住这个特点可进行换元求解。
设=y，原方程可化为y+=。
解得=2，=
由=2，得=-1；
由=，得=2.
经检验，=-1，=2都是原方程的根。
（3）利用分母的特点换元
例3.解方程：
分析:
此题如去分母，便会出现高次的麻烦。
仔细观察方程，就会发现各分母均是x的二次三项式，仅常数项就不同，依此特点可设=y来换元。
设=y，
原方程变为+=，
即=
.
解得=4，=-3.
当=4时，=4得，=，=。
当=-3时，+3=0，＜0，无实根，舍去。
经检验=，=都是原方程的根。
（4）整理方程中的各项，使方程变形成有重复出现的分式整体进行换元。
例4.解方程：
-3+4=0.
如去分母就会出现高次方程，所以应该考虑换元法。
由于=-2,可以依此设=y来换元。
设=y，则=-2。
原方程变为-3y+2=0
当时，有=1，-x+1=0，，无实根，舍去。
当时，有=2，-2x+1=0，==1，
经检验==1是原方程的根。
2用换元法解无理方程（组）
用换元法将无理方程转化成有理方程是常用的基本方法，应用换元法解无理方程的常见类型有：
（1）根号内外的代数式相同时可直接换元，这类题比较好分析，难度较小。
（2）利用方程中两个根号内代数式的倒数关系换元
（3）将根号外的代数式整理成根号内的代数式的形式进行换元。
这类题要注意以根号内的代数式为标准整理根号外的代数式。
（4）整理组合式双换元。
这种换元常在方程组解题中，主要是将方程组中的整式方程，整理出含无理
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