换元法在代数解题中的应用方丽颖Word文档格式.doc
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换元的实质就是转化,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,使问题得到简化的一种解题方法.换元法的基本思想是通过变量代换,使原问题化繁为[1]简,化难为易,使问题发生有利的转化,从而达到解题目的.常见的换元法有两种:
(1)设F(x)是一个比较复杂的表达式,如果F(x)可以表示为一个以Ψ(t)为中间变量的复函数,则可以设Ψ(t)=u,于是F(x)=G(Ψ(t))=G(u).如果G(u)比F(x)容易解决,这里的换元就起了化繁为简的作用.这是第一种换元法.
(2)设F(x)是一个比较复杂的表达式,为了解题的需要,设x=Φ(t),于是F(x)=F(Φ(t))=Γ(t).只要Γ(t)比较容易解决,同样也能起到化难为简的作用.这是第二种换元法。
三、换元法的关键
利用换元法解数学题的关键在于适当地选择"
引进适当的代换,找到较容易的解题思路,能使问题简化.
四、换元法的基本思路
即把未知问题转化为已知问题,把复杂问题转化为简单问题,把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
五、换语法的一般步骤
①设元(或构造元)②求解③回代④检验
六、常见的换元方法及技巧
(一)整体换元法
例1.求同时满足下列条件的所有复数Z:
⑴Z+<Z+≤6;
⑵z的实部和虚部都是整数。
解:
设Z+=m,得z-mz+10=0,
由⑴知mR且1<m≤6,
m-40<0,由求根公式得Z=i,
由z的实部和虚部都是整数,m只能取2、6两个值,
因此满足条件的所有复数是Z=13i或3i。
注:
此题若用化为实数求解,需分类讨论。
此处采用整体换元,将问题转化为一元二次方程来探求,巧妙的回避了讨论。
例2.已知,求和.
分析:
求和,即求该复合函数的解析表达式.首先要明确该复合函数的意义,
=3+4
=3+4
=+4=3(=9x+16
}=3+4
由于=9x+16,
所以要将9x+16看作一个整体去置换3+4中的即具体是将去置换原函数解析式中的x,从而得到的解析表达式.
=3+4=3()+4=27x+52
注:
此题的目的是加强换元意识中的“整体观”,已知条件的一部分有机联系起来,看成是一个整体,然后进行整体的置换。
(二)局部换元法
例3.分解因式.
分析用传统方式先去括号,再做分解工作量很大,在此可以把看作整体.
设,则
原式=+
=+2ab+-1
=-1
=
=
本题用的是"
局部换元法"
.从式子的特征看,把及各看作一个整体用a和b进行换元,可使问题简化.
(三)三角换元法
例4.解不等式x+1>x
设x=tan(-<<),
则原不等式可化为tansec>-1+tan,
即2sin-sin-1<0,
解得-<sin<1,
-<<,
tan>-,
原不等式的解集为{x∣x>-}。
三角换元一般是利用三角函数的值域或同角三角函数的关系问题,其应用相当的广泛。
(四)和差换元
例5.若-4=0,求证:
x、y、z成等差数列。
证明:
令x=,z=,
代入已知等式得-4=0,
即=0,a=y,=2a=2y,
故成等差数列。
(五)参数换元法
例6.如果实数x、y满足等式+y=3,求的最大值。
解:
令=k,则y=表示圆上的点与原点连线的斜率,
直线y=与园有公共点的充要条件是≤,
解得≤。
(六)增值换元
例7.在复数集C中解方程:
++=2.
令t==2,
则原方程变为=2,
展开整理得t=0,
x=x=-2,x=-2+2i,x=-2-2i。
通过均值换元,巧妙的将高次方程化归为只含偶次幂的方程。
(七)增量换元
例8.已知a、b且=1,求证:
≥。
由a、b且=1,
可设a=+t,b=-t,
则=
≥
=,
当且仅当a=b=时等号成立。
(八)增次换元
例9.解不等式>x+1。
令=t,则x=,
原不等式可化为>+1,
即<0,
t<9,
<9,x<2,
又≥0,x≥-,
故原不等式的解集为-≤x<
此法适用于所有形如或<的不等式。
(九)降次换元
例10.已知+=1,求证:
+=1。
设A=a,B=b,
则由已知得,,
即=,
整理得,a=b,
+=
=1
降次换元,可以化三角问题为代数问题,过程比较简洁。
(十)增元换元
例11.若==且++=1,求证:
=++.
令===k,
则=,=,=,
==
=++,
命题得证。
对于连等式或者连比式的题目,一般采用增元换元的方法,从而将相互依存的各参数或变量分离开来,使结构关系明朗化,变换起来更简便。
(十一)对称换元
例12.设n且+=-1,求的值。
由条件+=2(-),
故设=--d,=-+d,
由得,
,
解得d=。
若d=,则=-1,=0;
若d=-,则=0,=-1,
=。
对形如=2c型的结构式可考虑构造等差数列的形式,然后进行对称换元。
七、换元中应注意的问题
换元法是中学数学的一种重要的解题方法.通过换元,可使非标准话问题标准化,复杂的问题简单化.由于这种方法应用较广,并且分布在中学数学的不同章节,不同问题中,学生学习时往往只会孤立地运用这种方法,机械地照抄照搬,对于何时能用换元法,何时不能用,用换元法需要注意哪些问题不太明确.因此,应用时难免出现方法不灵活,甚至出现错用的现象.
八、换元法在具体问题中的应用
(一)换元法在递推数列问题中的应用
在递归数列问题的解决中,当题目给出的数列的一般规律难以寻觅时,可考虑换元法,用一个规律明朗的数列作代换,从而使问题得到解决。
下面用两个例子来说明。
例1.
由循环公式=1=定义,其中n=1、2、3……
(1)
求通项公式。
虽然由条件不难算出数列的前几项=1,=,=,=……但仅就此而言,一时很难发现数列的变化规律。
对于循环公式
(1),也许可以作出这样的猜测:
根式是个难处,如果从这里下手会怎样呢?
设=,则=
由=1,=,=,=,
可立即得到=5+3+2;
4+3+1,=3,=3,这样便容易看出新数列的通项公式为=3+
(2)
下面用归纳法加以证明。
(ⅰ)n=1时,命题显然成立;
(ⅱ)假设n=K时
(2)式成立,即=3+;
(ⅲ)则n=K+1时,
-=
整理化简得===3+
的通项公式为=3+,
因此可得=
=+2+
例2.数列满足=2+﹙n=1,2,3……﹚时,试证可以确定适当的数a,该不等式≤对于一切的n=1,2,3……成立。
≤≤
(1)
将=2+两边同时乘以,便可得到=+这使我们自然想到作代换=。
因为由=+可得=+。
设=,则=+,
由此可得=+
=+-
此时不难发现且易证,取a=+
则=≤
亦即≤对任意n=1,2,3……成立。
(二)换元法在解方程(组)中的应用
1.用换元法解分式方程
如何将分式方程转化成整式方程是解分式方程的关键。
换元是转化的一个基本途径,但换元法不是解分式方程的一般方法,它是以所讨论方程的特有性质为依据的,是解一些特殊方程的特殊方法。
这种方法灵活性大,技巧性强,不同的方程就有不同的换元方法。
因此要多观察,巧分析,并注意方法的总结。
一般的分式方程(组)换元有一下几种类型:
(1)方城中有重复出现的分式时,可直接换元。
这是比较简单的一种类型。
(2)利用方程中代数式互为倒数的关系换元。
例1解方程-+=0
方程中含一个分式,如果去分母来解,就会出现四次式。
观察方程的特点,方程多项式中含有。
因此,可令=y进行换元。
令=y,
原方程变为y+7+=0,
整理得
解之得,=-2=-5.
当=-5时,+5=0,<0,无实根,舍去。
当=-2时,+2=0,解之得=2,=1
经检验,=2,=1都是原方程的根。
例2解方程:
方程中含两个分式,观察到方程左边两个分式互为倒数,抓住这个特点可进行换元求解。
设=y,原方程可化为y+=。
解得=2,=
由=2,得=-1;
由=,得=2.
经检验,=-1,=2都是原方程的根。
(3)利用分母的特点换元
例3.解方程:
分析:
此题如去分母,便会出现高次的麻烦。
仔细观察方程,就会发现各分母均是x的二次三项式,仅常数项就不同,依此特点可设=y来换元。
设=y,
原方程变为+=,
即=
.
解得=4,=-3.
当=4时,=4得,=,=。
当=-3时,+3=0,<0,无实根,舍去。
经检验=,=都是原方程的根。
(4)整理方程中的各项,使方程变形成有重复出现的分式整体进行换元。
例4.解方程:
-3+4=0.
如去分母就会出现高次方程,所以应该考虑换元法。
由于=-2,可以依此设=y来换元。
设=y,则=-2。
原方程变为-3y+2=0
当时,有=1,-x+1=0,,无实根,舍去。
当时,有=2,-2x+1=0,==1,
经检验==1是原方程的根。
2用换元法解无理方程(组)
用换元法将无理方程转化成有理方程是常用的基本方法,应用换元法解无理方程的常见类型有:
(1)根号内外的代数式相同时可直接换元,这类题比较好分析,难度较小。
(2)利用方程中两个根号内代数式的倒数关系换元
(3)将根号外的代数式整理成根号内的代数式的形式进行换元。
这类题要注意以根号内的代数式为标准整理根号外的代数式。
(4)整理组合式双换元。
这种换元常在方程组解题中,主要是将方程组中的整式方程,整理出含无理