高中数学常见题型解法归纳 数列最值的求法Word文件下载.docx

高中数学常见题型解法归纳 数列最值的求法Word文件下载.docx

《高中数学常见题型解法归纳 数列最值的求法Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学常见题型解法归纳 数列最值的求法Word文件下载.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

方法二

数形结合法

比较容易求出数列的通项

先求数列的通项，再对通项的图像进行研究.

【例2】在等比数列中，，公比，且，与的等比中项为2.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为Sn，当最大时，求的值.

【点评】

（1）等差数列的通项可以看作是一个关于的一个一次函数，画出函数的图像，比较直观地看出数列的哪些项是正数，哪些项是负数，从而得到前多少项的和最大或最小.

（2）注意数列中，由

于，所以前8项的和和前9项的和相等，且都最大，所以在考虑问题时，注意那些“零”项，以免得出错误的结论.

【例3】已知数列中，则在数列的前项中最小项和最大项分别是（）

A.B.C.D.

【点评】该题中的函数是双曲线，画出函数的图像，可以看出在靠近渐近线的地方函数取到最小值或最大值.

【反馈检测2】已知等差数列{},,=.若，求数列{}的前项和的最小值.

方法三

单调性法

数列的单调性比较容易确定

先求数列的通项，再对通项的单调性进行研究.

【例4】已知数列的通项公式，，求的最大值.

（1）数列按照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.

（2）判断数列的单调性一般有两种方法，方法一是作差判断，如果

方法二是作商判断，如果

【例5】设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数有：

且．

⑴一个各项均为正数的数列满足:

其中为数列的前项和,求数列的通项公式；

⑵在⑴的条件下，是否存在正数M使下列不等式：

对一切成立？

若存在，求出的取值范围；

若不存在，请说明理由．

⑵假设存在满足条件，

即对一切恒成立．　

令，

，　

故，

，单调递增，，．

．　　

（1）本题就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值；

（2）是选择作差法判断函数的单调性，还是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，如果数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，如果数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.

【反馈检测3】已知数列中，且点在直线上．

（2）若函数求函数的最小值；

（3）设表示数列的前项和，

试证明：

．

方法四

基本不等式法

有一正二定三相等的数学情景

先求函数的表达式，再利用基本不等式解答.

【例6】广州市某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引进该设备可获得的年利润为50万元.

（1）引进该设备多少年后，开始盈利？

（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：

第一种：

年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；

第二种：

盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？

并说明理由.

【点评】基本不等式同样可以求数列的最值.如果n取等时的值不是正整数，可以求它附近的点的函数值，比较就可以了.

【反馈检测4】某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加万元，该设备使用后，每年的总收入为万元，设从今年起使用年后该设备的盈利额为万元.

（Ⅰ）写出的表达式；

（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；

（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：

方案一：

年平均盈利额达到最大值时，以万元价格处理该设备；

方案二：

当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备.问用哪种方案处理较为合算?

请说明理由．

方法五

导数法

函数比较复杂，单调性一般方法不行.

先求函数，再求导，再研究函数的单调性.

【例7】在数列中，（），其中是常数，且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的最小项.

以上个式子相加得，即.

又，所以，即.

当时，上式也成立.

所以数列的通项公式为.

（Ⅱ）为考查数列的单调性，注意到，可设函数，则，即.

可知时，；

时，；

时，.

所以函数在[1，]上是减函数；

在上是增函数.

因为，所以.

（3）当，即，即时，

.所以数列的最小项为

.

（4）当且时，且，则，

.所以数列的最小项为.

（5）当时，且，则，

所以数列的最小项为.

综上所述：

当时，数列的最小项为=10；

当时，数列的最小项为；

当时，数列的最小项为=11；

当时，数列的最小项为.

（1）利用导数求数列的最值，不能直接求，必须先构造数列对应的函数，因为数列是离散型函数，不可导.

（2）注意数列对应的函数的单调性和数列本身的单调性是有区别的，有人认为“数列对应的函数在上单调递增，在上单调递减，则数列在最靠近的地方取得最大值”.如下图所示，数列对应的连续函数在上单调递增，在上单调递减，但是数列并不是在最靠近处取得最大值，而是在处取得最大值（其中.所以可知当数列对应的函数在上单调递增，在上单调递减，则数列不一定在最靠近的地方取得最大值，必须把附近的整数值代进去比较，才可以判断谁是最大值.所以一般不利用导数求数列的最值.

a

b

c

【反馈检测5】求数列的最大项与最小项.

方法六

夹逼法

二项展开式中研究最值问题.

利用数列离散的特点，考察或，然后判断数列的最值情况.

【例8】已知二项式．

（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

【点评】利用数列离散的特点，考察或，然后判断数列的最值情况.

（1）、若数列中的最大项为，则；

（2）、若数列中的最小项为，则.注意：

这只是为数列最值的必要不充分条件，不是充要条件，若k不止一解时，需要代入检验.

【反馈检测6】已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992，求的展开式中：

（1）二项式系数最大的项；

（2）系数的绝对值最大的项.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第40讲：

数列最值的求法参考答案

【反馈检测1答案】

（1）（-,-3）；

（2）当时，最大.

解法二：

由题意可得：

=+=+=

显然,是关于自变量的二次函数，

由

（1）知：

二次函数的图像抛物线的对称轴为,

，

所以6<

<

又因为,

故当时，最大，即最大.

【反馈检测2答案】

因此等差数列{}的公差大于0.

==,解得=2.

所以,则.

即数列{}也为等差数列且公差为2.

由，解得，

因为，所以,

故{}的前15项为负值，

因此最小，

可知=-29，=2,

所以数列{}的前项和的最小值为

==-225.

【反馈检测3答案】

（1）；

（2）的最小值是；

（3）见解析.

【反馈检测3详细解析】

（1）由点P在直线上，即，

且，数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，

（2）

所以是单调递增，故的最小值是

.

【反馈检测4答案】

（Ⅰ）（）；

（Ⅱ）从第三年开始盈

利；

（Ⅲ）采用方案一合算．

【反馈检测4详细解析】

（Ⅰ）．

（Ⅱ）由得：

即，解得，由知，，即从第三年开始盈利

（Ⅲ）方案①：

年平均盈利为，则，当且仅当，即时，年平均利润最大，共盈利24×

7＋52＝220万元．

方案②：

，当时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204＋16＝220万元

两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．

【反馈检测5答案】

【反馈检测6答案】

（2）。

【反馈检测6详细解析】由题意知，解得.

（1）的展开式中第6项的二项式系数最大，即

（2）设第项的系数的绝对值最大，因为

则，得即解得

所以，故系数的绝对值最大的项是第4项即