高考一轮江苏数学文科 第4章 热点探究课2 函数导数与不等式pptWord格式.docx
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0,则当x∈时,f′(x)>
0;
当x∈时,f′(x)<
0.5分
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.6分
(2)由
(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当a>
0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为
f=ln+a=-lna+a-1.11分
因此f>
2a-2等价于lna+a-1<
0.12分
令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g
(1)=0.
于是,当0<
a<
1时,g(a)<
1时,g(a)>
0.
因此,a的取值范围是(0,1).14分
[答题模板] 讨论含参函数f(x)的单调性的一般步骤
第一步:
求函数f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定).
第二步:
求函数f(x)的导数f′(x).
第三步:
根据f′(x)=0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论.
第四步:
求解(令f′(x)>
0或令f′(x)<
0).
第五步:
下结论.
第六步:
反思回顾,查看关键点、易错点、注意解题规范.
温馨提示:
1.讨论函数的单调性,求函数的单调区间、极值问题,最终归结到判断f′(x)的符号问题上,而f′(x)>0或f′(x)<0,最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题.
2.若已知f(x)的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.
[对点训练1] 已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f′.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·
ex,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.
[解]
(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,
得f′(x)=3x2+2ax-1.2分
当x=时,得a=f′=3×
2+2a×
-1,
解得a=-1.4分
(2)由
(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,
则f′(x)=3x2-2x-1=3(x-1),列表如下:
x
-
1
(1,+∞)
f′(x)
+
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)的单调递增区间是和(1,+∞);
f(x)的单调递减区间是.8分
(3)函数g(x)=(f(x)-x3)·
ex=(-x2-x+c)·
ex,
有g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex
=(-x2-3x+c-1)ex,
因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,
所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立,
只要h
(2)≥0,解得c≥11,
所以c的取值范围是[11,+∞).14分
热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题
研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负,为此,我们可以通过讨论函数的单调性来解决,求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用,其主要考查方式有:
(1)确定函数的零点、图象交点的个数;
(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围.
(2016·
北京高考节选)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围.
[解]
(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b.2分
因为f(0)=c,f′(0)=b,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx+c.4分
(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,
所以f′(x)=3x2+8x+4.6分
令f′(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-.8分
f(x)与f′(x)在区间(-∞,+∞)上的情况如下:
(-∞,-2)
-2
c
c-
所以,当c>0且c-<0时,存在x1∈(-4,-2),x2∈,x3∈,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.
由f(x)的单调性知,当且仅当c∈时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.14分
[规律方法] 用导数研究函数的零点,常用两种方法:
一是用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;
二是将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决.
[对点训练2] 设函数f(x)=lnx+,m∈R.
(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;
(2)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数.【导学号:
62172115】
[解]
(1)由题设,当m=e时,f(x)=lnx+,
则f′(x)=,由f′(x)=0,得x=e.2分
∴当x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减;
当x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增,
∴当x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+=2,
∴f(x)的极小值为2.4分
(2)由题设g(x)=f′(x)-=--(x>0),
令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).6分
设φ(x)=-x3+x(x>
0),
则φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),
当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴x=1是φ(x)唯一的极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,
∴φ(x)的最大值为φ
(1)=.10分
又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知
①当m>时,函数g(x)无零点;
②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;
③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;
④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.
综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;
当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
当0<m<时,函数g(x)有两个零点.14分
热点3 利用导数研究不等式问题
导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容,且以解答题的形式考查,难度较大,属中高档题.归纳起来常见的命题角度有:
(1)证明不等式;
(2)不等式恒成立问题;
(3)存在型不等式成立问题.
角度1 证明不等式
设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:
当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
[解]
(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R,f′(x)=ex-2,x∈R.令f′(x)=0,得x=ln2.
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(-∞,ln2)
ln2
(ln2,+∞)
单调递减
2(1-ln2+a)
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),
f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).6分
(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R.于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由
(1)知当a>ln2-1时,g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,
所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
又g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.14分
角度2 不等式恒成立问题
全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).
(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>
0,求a的取值范围.
[解]
(1)f(x)的定义域为(0,+∞).1分
当a=4时,f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),
f
(1)=0,f′(x)=lnx+-3,f′
(1)=-2.3分
故曲线y=f(x)在(1,f
(1))处的切线方程为2x+y-2=0.6分
(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于lnx->0.
设g(x)=lnx-,
则g′(x)=-=,g
(1)=0.9分
①当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)单调递增,因此g(x)>0;
②当a>2时,令g′(x)=0得x1=a-1-,x2=a-1+.
由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x∈(1,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(1,x2)单调递减,因此g(x)<0.
综上,a的取值范围是(-∞,2].14分
角度3 存在型不等式成立问题
设函数f(x)=alnx+x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为0.
(1)求b;
(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<
,求a的取值范围.
[解]
(1)f′(x)=+(1-a)x-b.
由题设知f′
(1)=0,解得b=1.3分
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),
由
(1)知,f(x)=alnx+x2-x,
f′(x)=+(1-a)x-1=(x-1).5分
①若a≤,则≤1,故当x∈(1,+∞)时,f′(x)>
0,f(x)在(1,+∞)单调递增.
所以,存在x0≥1,使得f(x0)<
的充要条件为f
(1)<
,即-1<
,解得--1<
-1.7分
②若<
1,则>
1,故当x∈时,f′(x)<
0,当x∈时,f′(x)>
0,f(x)在上单调递减,在上单调递增.10分
所以存在x0≥1,使得f(x0)<
的充要条件为f<
.
而f=aln++>
,所以不合题意.
③若a>
1,则f
(1)=-1=<
恒成立,所以a>1.
综上,a的取值范围是(--1,-1)∪(1,+∞).14分
[规律方法] 1.运用导数证明不等式,常转