21空间向量与立体几何综合考题Word文档格式.docx
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∴,即二面角的平面角的余弦值是.
2.如图5,在三棱柱中,侧棱底面,为的中点,.
(1)求证:
平面;
(2)若四棱锥的体积为,求二面角的正切值.
(1)证明:
连接,设与相交于点,连接,∵四边形是平行四边形,∴点为的中点.∵为的中点,∴为△的中位线,∴.2分∵平面,平面,∴平面4分
(2)解:
依题意知,,∵平面,平面,∴平面平面,且平面平面.作,垂足为,则平面,6分设,在Rt△中,,,∴四棱锥的体积.8分依题意得,,即.9分
(以下求二面角的正切值提供两种解法)
解法1:
∵,平面,平面,∴平面.取的中点,连接,则,且.∴平面.作,垂足为,连接,由于,且,∴平面.∵平面,∴.∴为二面角的平面角.12分由Rt△~Rt△,得,得,在Rt△中,.∴二面角的正切值为.14分
解法2:
∵,平面,平面,∴平面.以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系.则,,,.∴,
设平面的法向量为,由及,得
令,得.故平面的一个法向量为,11分
又平面的一个法向量为,∴,12∴,.13分∴,.∴二面角的正切值为.14分
3.如图6,正方形所在平面与圆所在平面相交于,线段为圆的弦,垂直于圆所在平面,垂足是圆上异于、的点,,圆的直径为9.
平面平面;
(2)求二面角的平面角的正切值.
(1)证明:
∵垂直于圆所在平面,在圆所在平面上,∴.在正方形中,,∵,∴平面.∵平面,∴平面平面.
(2)解法1:
∵平面,平面,
∴.∴为圆的直径,即.设正方形的边长为,
在△中,,在△中,,由,解得,.∴.过点作于点,作交于点,连结,由于平面,平面,∴.∵,∴平面.∵平面,
∴.∵,,∴平面.∵平面,∴.∴是二面角的平面角.在△中,,,,∵,∴.在△中,,
∴.故二面角的平面角的正切值为.
解法2:
∵平面,平面,∴.∴为圆的直径,即.设正方形的边长为,在△中,,在△中,,由,解得,.∴.
以为坐标原点,分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,§
科§
.设平面的法向量为,则即取,则是平面的一个法向量.设平面的法向量为,则即取,则是平面的一个法向量.∵,∴.∴.
故二面角的平面角的正切值为.
4.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,,E,F分别是BC,PC的中点.
AE⊥PD;
(2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,求二面角E—AF—C的余弦值.
解:
由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°
,可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD,又PD平面PAD.所以AE⊥PD.
(2)解:
设AB=2,H为PD上任意一点,连接AH,EH.由(Ⅰ)知AE⊥平面PAD,则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中,AE=,所以当AH最短时,∠EHA最大,即当AH⊥PD时,∠EHA最大.此时tan∠EHA=因此AH=.又AD=2,所以∠ADH=45°
,所以PA=2.
因为PA⊥平面ABCD,PA平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD.过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC,过O作OS⊥AF于S,连接ES,则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角,在Rt△AOE中,EO=AE·
sin30°
=,AO=AE·
cos30°
=,又F是PC的中点,在Rt△ASO中,SO=AO·
sin45°
=,又在Rt△ESO中,cos∠ESO=即所求二面角的余弦值为
由
(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E、F分别为BC、PC的中点,所以A(0,0,0),B(,-1,0),C(C,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(),所以设平面AEF的一法向量为则因此
取因为BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面AFC,故为平面AFC的一法向量.又=(),所以cos<,>=因为二面角E-AF-C为锐角,所以所求二面角的余弦值为
5.如图3,在四面体中,,且
(1)设为的中点,证明:
在上存在一点,使,并计算的值;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
(1)在平面内作交于,连接.又,, ,.取为的中点,则,,在等腰中,,,在中,,,在中,,,
(2)连接,由,知:
.又,
又由,.又,又是的中点,,,,,为二面角的平面角,在等腰中,,,在中,,在中,
在平面中,过点,作交于,取为坐标原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系(如图所示)则为中点,设.
即,.
所以存在点使得且.
(2)记平面的法向量为,则由,,且,
得,故可取
又平面的法向量为..
二面角的平面角是锐角,记为,则
6.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(Ⅰ)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(Ⅱ)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.
解法1:
(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0)、B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、
P(0,0,2)、E(0,,1),从而设的夹角为θ,则∴AC与PB所成角的余弦值为.
(Ⅱ)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,O,z),则,由NE⊥面PAC可得,∴即N点的坐标为,从而N点到AB、AP的距离分别为1,.
(Ⅰ)设AC∩BD=O,连OE,则OE//PB,∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在△AOE中,AO=1,OE=∴即AC与PB所成角的余弦值为.
(2)在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则.连PF,则在Rt△ADF中设N为PF的中点,连NE,则NE//DF,∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面PAC,从而NE⊥面PAC.∴N点到AB的距离,N点到AP的距离
7.如图,在六面体中,四边形是边长为2的正方形,四边形是边长为1的正方形,平面,平面,.(Ⅰ)求证:
与共面,与共面;
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)求二面角的大小的余弦值.
解法1(向量法):
以为原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图,
则有.(Ⅰ)证明:
..与平行,与平行,于是与共面,与共面.(Ⅱ)证明:
,,,.与是平面内的两条相交直线.
平面.又平面过.平面平面.(Ⅲ)解:
.设为平面的法向量,,.于是,取,则,.
设为平面的法向量,,.于是,取,则,..二面角的大小为.
解法2(综合法):
平面,平面.,,平面平面.于是,.设分别为的中点,
连结,有.,于是.由,得,故,与共面.
过点作平面于点,则,连结,
于是,,.,.
,.所以点在上,故与共面.
(Ⅱ)证明:
平面,,又(正方形的对角线互相垂直),与是平面内的两条相交直线,平面.又平面过,平面平面.
(Ⅲ)解:
直线是直线在平面上的射影,,根据三垂线定理,有.
过点在平面内作于,连结,则平面,于是,所以,是二面角的一个平面角.根据勾股定理,有.,有,,,
.,二面角的大小为.
8.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,PD=CD=AD=AB=a,
∠ADC=120°
点E为AB的中点.(I)证明:
AD⊥面PDB;
(II)求二面角D-PC-E的大小;
(III)求点B到面PEC的距离.
(I)∵∠ADC=120°
,AB∥CD,∴∠DAB=60°
,又AD=AB=a,∴BD=,∴,∴AD⊥BD,又∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥AD,而PDBD=D,∴AD⊥面PDB.4分
(II)如图,以D为坐标原点,DA为x轴,DB为y轴,DP为z轴建立直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,a),A(a,0,0),E(,,0),C(,,0),B(0,,0),设平面PDC的法向量为,则,即,∴.同理求得平面PEC的一个法向量为,∴,∴二面角D-PC-E的大小为.10分
(III)由(II)知,面PEC的一个法向量,于是点B到面PEC的距离.14分
9.如图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间.点A、D∈α,C、F∈γ,
AC∩β=B,DF∩β=E.
(1)求证:
=;
(2)设AF交β于M,AD与CF不平行,
α与β间距离为h′,α与γ间距离为h,当的值是多少时,S△BEM的面积最大?
10.(2008海南、宁夏理)如图,已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,∠PDA=60°
。
(1)求DP与CC1所成角的大小;
(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小。
9.解:
如图,以为原点,为单位长建立空间直角坐标系.
则,.连结,.
在平面中,延长交于.设,
由已知,由
可得.解得,所以.
(Ⅰ)因为,
所以.即与所成的角为.
(Ⅱ)平面的一个法向量是.
因为,
所以.
可得与平面所成的角为.
11.(2008安徽文)如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,,,,为的中点。
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。
11.解:
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,
(1)设与所成的角为,
与所成角的大小为
(2)设平面OCD的法向量为,
即取,解得
设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,,.所以点B到平面OCD的距离为
12.(2005湖南文、理)如图1,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角,如图2。
AC⊥BO1;
(2)求二面角O-AC-O1的大小。
12.解:
(I)证明由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.故可以O为原点,OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图3,则相关各点的坐标是A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,),O1(0,0,).从而,所以AC⊥BO1.
(II)解:
因为所以BO1⊥OC,由(I)AC⊥BO1,所以BO1⊥平面OAC,是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量,由得.
设二面角O—AC—O1的大小为,由、的方