学年人教B版选修21第三章322 平面的法向量与平面的向量表示学案Word下载.docx

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　）

2．若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．（　×

3．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．（　√　）

类型一　求平面的法向量

例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．

解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，

所以AB，AD，AP两两垂直．

如图，以A为坐标原点，

AB所在直线为x轴建立空间直角坐标系Axyz，则D（0，，0），E，B（1,0,0），

C（1，，0），

于是＝，＝（1，，0）．

设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，

则即

所以

令y＝－1，则x＝z＝.

所以平面ACE的法向量为n＝（，－1，）．

引申探究

若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．

解　如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则P（0,0,1），

所以＝（1，，－1）即为直线PC的一个方向向量．

设平面PCD的法向量为n＝（x，y，z）．

因为D（0，，0），所以＝（0，，－1）．

由即

所以令y＝1，则z＝.

所以平面PCD的法向量为n＝（0,1，）．

反思与感悟　利用待定系数法求平面法向量的步骤

（1）设向量：

设平面的法向量为n＝（x，y，z）．

（2）选向量：

在平面内选取两个不共线向量，.

（3）列方程组：

由列出方程组．

（4）解方程组：

（5）赋非零值：

取其中一个为非零值（常取±

1）．

（6）得结论：

得到平面的一个法向量．

跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形．∠ABC＝60°

，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量．

解　因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，

又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB.

所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°

，

所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.

以F为坐标原点，建立空间直角坐标系Fxyz（如图所示）．

由题意得F（0,0,0），P，D，C，

E.

所以＝，＝.

设平面DEF的法向量为m＝（x，y，z）．

所以令y＝2，则x＝，z＝－2.

所以平面DEF的法向量为m＝（，2，－2）．

类型二　利用空间向量证明平行问题

例2　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：

（1）FC1∥平面ADE；

（2）平面ADE∥平面B1C1F.

证明　

（1）建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有D（0,0,0），A（2,0,0），C（0,2,0），C1（0,2,2），E（2,2,1），F（0,0,1），B1（2,2,2），

所以＝（0,2,1），＝（2,0,0），＝（0,2,1）．

设n1＝（x1，y1，z1）是平面ADE的法向量，

则n1⊥，n1⊥，

即得

令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝（0，－1,2）．

因为·

n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.

又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.

（2）因为＝（2,0,0），设n2＝（x2，y2，z2）是平面B1C1F的法向量．由n2⊥，n2⊥，

得得

令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝（0，－1,2），

因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.

反思与感悟　利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．

跟踪训练2　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°

，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°

，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？

若存在，求出E点的位置；

若不存在，请说明理由．

解　分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，

∴P（0,0,1），C（1,1,0），D（0,2,0），

设E（0，y，z），则＝（0，y，z－1），

＝（0,2，－1），

∵∥，

∴（－1）×

y－2（z－1）＝0，①

∵＝（0,2,0）是平面PAB的法向量，

又＝（－1，y－1，z），CE∥平面PAB，

∴⊥，∴（－1，y－1，z）·

（0,2,0）＝0.

∴y＝1，代入①得z＝，∴E是PD的中点，

∴存在E点，当点E为PD的中点时，CE∥平面PAB.

类型三　利用空间向量证明垂直问题

例3　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°

，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：

平面A1AD⊥平面BCC1B1.

证明　方法一　如图，以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，

则A（0,0,0），B（2,0,0），C（0,2,0），A1（0,0，），

C1（0,1，）．

∵D为BC的中点，∴D点坐标为（1,1,0），

∴＝（1,1,0），＝（0,0，），＝（－2,2,0），

∴·

＝1×

（－2）＋1×

2＋0×

0＝0，

·

＝0×

（－2）＋0×

2＋×

∴⊥，⊥，

∴BC⊥AD，BC⊥AA1.

又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.

又BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

方法二　同方法一建系后，得＝（0,0，），

＝（1,1,0），＝（－2,2,0），＝（0，－1，）．

设平面A1AD的法向量为n1＝（x1，y1，z1），

平面BCC1B1的法向量为n2＝（x2，y2，z2）．

由得

令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，

∴n1＝（1，－1,0）．

令y2＝1，则x2＝1，z2＝，

∴n2＝.

∵n1·

n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，

∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

反思与感悟　利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；

二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．

跟踪训练3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．

（1）求证：

平面AED⊥平面A1FD1；

（2）在直线AE上求一点M，使得A1M⊥平面AED.

（1）证明　以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

设正方体的棱长为2，则D（0,0,0），A（2,0,0），E（2,2,1），F（0,1,0），A1（2,0,2），D1（0,0,2），

∴＝＝（2,0,0），＝（2,2,1），＝（0,1，－2）．

设平面AED的法向量为n1＝（x1，y1，z1）．

由

得

令y1＝1，得n1＝（0,1，－2）．

同理，平面A1FD1的法向量为n2＝（0,2,1）．

n2＝（0,1，－2）·

（0,2,1）＝0，∴n1⊥n2，

∴平面AED⊥平面A1FD1.

（2）解　由于点M在直线AE上，

因此可设＝λ＝λ（0,2,1）＝（0,2λ，λ），

则M（2,2λ，λ），∴＝（0,2λ，λ－2）．

要使A1M⊥平面AED，只需∥n1，

即＝，解得λ＝.

故当AM＝AE时，A1M⊥平面AED.

1．若直线l∥α，且l的方向向量为（2，m,1），平面α的法向量为，则m等于（　　）

A．－4B．－6C．－8D．8

答案　C

解析　∵l∥α，平面α的法向量为，

∴（2，m,1）·

＝0，

即2＋m＋2＝0，∴m＝－8.

2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝（1,2，－1），v＝（－3，－6,3），则（　　）

A．α∥βB．α⊥β

C．α，β相交但不垂直D．以上均不正确

答案　A

解析　∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.

3．若a＝（1,2,3）是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是（　　）

A．（0,1,2）B．（3,6,9）

C．（－1，－2,3）D．（3,6,8）

答案　B

解析　向量（1,2,3）与向量（3,6,9）共线．

4．已知平面α的法向量是（2,3，－1），平面β的法向量是（4，λ，－2），若α∥β，则λ的值是（　　）

A．－B．6C．－6D.

解析　∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．

∴＝＝.∴λ＝6.

5．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝（－1,0,5），v＝（t,5,1），则t的值为________．

答案　5

解析　∵平面α与平面β垂直，

∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v互相垂直，

∴μ·

v＝0，即－1×

t＋0×

5＋5×

1＝0，解得t＝5.

1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．

2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果．

一、选择题

1．直线l的方向向量s＝（－1,1,1），平面α的一个法向量为n＝（2，x2＋x，－x），若直线l∥α，则x的值为（　　）

A．－2B．－C.D．±

答案　D

解析　由题意知，－1×

2＋1×

（x2＋x）＋1×

（－x）＝0，

解得x＝±

.

2．若平面α，β的法向量分别为u＝（2，－3,5），v＝（－3,1，－4），则（　　）

A．α∥βB．α⊥β

C．α，β相交但不垂直D．以上均不正确

3．已知平面α内有一个点A（2，－1,2），α的一个法向量为n＝（3,1,2），则下列点P中，在平面α内的是（　　）

A．（1，－1,1）B.

C.D.

解析　对于A，＝（1,0,1），则·

n＝（1,0,1）·

（3,1,2）＝5≠0，故排除A；

同理可排除C，D；

对于B，＝，则·

n＝·

（3,1,