历年上海高考试题圆锥曲线.docx

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历年上海高考试题圆锥曲线

历年上海高考试题（圆锥曲线）

班级学号姓名

1.（01上海）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_____

2.（02上海）曲线（t为参数）的焦点坐标是

3.（02上海）抛物线（y-1）2=4（x+1）的焦点坐标是

4.（03上海春）直线被抛物线截得线段的中点坐标是.

5.（03上海理）在极坐标系中，定点A点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是.

6.（04上海春）过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线,交抛物线于A、B两点,则以F为圆心、AB为直径的圆方程是

7.（04上海）设抛物线的顶点坐标为（2,0）,准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为

8.（04上海理）在极坐标系中,点M（4,）到直线l:

ρ（2cosθ+sinθ）=4的距离d=.

9.（03上海）给出问题：

F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：

双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.

该学生的解答是否正确？

若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.

10.（04上海）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是.

11.（05上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是（2,0）,则椭圆的标准方程是

12.（05上海理）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________。

13.（06上海文）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.

14.（06上海理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．

15.（06上海理）在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），则△OAB的面积是．

16.（07上海春）在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标.

17.（07上海文）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是

18.（06上海春）抛物线y2=4x的焦点坐标为（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（0,2）D.（2,0）

19.（05上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B）

A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在

20.（01上海）设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|,求的值.

21.（02上海春）已知F1、F2为双曲线（a>0,b>0）的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线点P,且∠PF1F2=30°,求双曲线的渐近线方向

22.（02上海）已知点，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长。

23.（03上海春）设分别为椭圆的左、右两个焦点.

（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程；

（2）设是

（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；

（3）已知椭圆具有性质：

若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为时，那么是与点位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.

24.（03上海文）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱

宽l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设

计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧

道的土方工程量最小？

（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：

底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）

25.（04上海春）已知倾斜角为45°的直线l过点A（1,－2）和点B,B在第一象限,=3.

（1）求点B的坐标;（4分）

（2）若直线l与双曲线C：

=1（a>0）相交于E、F两点,且线段EF的中点坐标为（4,1）,求a的值;（6分）

（3）对于平面上任一点P,当点Q在线段AB上运动时,称的最小值为P与线段AB的距离.已知点P在x轴上运动,写出点p（t,0）到线段ab的距离h关于t的函数关系式.（8分）

26.（04上海文）如图,直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.

（1）求点Q的坐标；

（2）当P为抛物线上位于线段AB下方

（含A、B）的动点时,求ΔOPQ面积的最大值.

27.（05上海春）

（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的方程是.设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为.证明：

当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；

（3）利用

（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.

[解]

（1）

[证明]

（2）

[解]（3）

28.（05上海文）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.

（1）求抛物线方程;

（2）过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;

（3）以M为圆心,MB为半径作圆M.当K（m,0）是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.

29.（05上海理）如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF.

（1）求点P的坐标;

（2）设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

30.（06上海春）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：

航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为＝1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M（0,）为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D（8,0）.观测点A（4,0）、B（6,0）同时跟踪航天器．

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：

当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

31.（06上海文）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程；

（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。

（06上海理）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

（1）求证：

“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出

（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

32.（07上海春）如图，在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为.过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求△的面积.

33.（07上海文）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．

如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，是线段的中点．

（1）若是边长为1的等边三角形，求该

“果圆”的方程；

（2）设是“果圆”的半椭圆

上任意一点．求证：

当取得最小值时，

在点或处；

（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．

参考答案

[解]

（1）设F2（c,0）（c>0）,P（c,y0）,则

   。

   在直角三角形PF2F1中，∠PF1F2=30°

       解法一：

│F1F2│=√3│PF2│,

   ,

   将c2=a2+b2代入，解得b2=2a2.　

   解法二：

│PF1│=2│PF2│,

   由双曲线定义可知│PF1│-│PF2│=2a,得│PF2│=2a.　

[解]设点C（x,y），则

根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线

由

即A（－4,－2）,B（8,4）,从而AB的中点为M（2,1）.

由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y－1=（x－2）.

令y=－5,得x=5,∴Q（5,－5）

（2）直线OQ的方程为x+y=0,设P（x,x2－4）.

∵点P到直线OQ的距离d==,

∴SΔOPQ==.

∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,

∴－4≤x<4－4或4－4

∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8]上单调递增,

∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大值30.

[解]

（1）设椭圆的标准方程为，，

∴，即椭圆的方程为，

∵点（）在椭圆上，∴，

解得或（舍），

由此得，即椭圆的标准方程为.……5分

（2）设直线的方程为，……6分

与椭圆的交点（）、（），

则有，

解得，

∵，∴，即.

则，

∴中点的坐标为.……11分

∴线段的中点在过原点的直线上.……13分

（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心.……18分

[解]

（1）由已知可得点A（－6,0）,F（0,4）

设点P（x,y）,则={x+6,y},={x－4,y},由已知可得

（x+6）（x－4）+y2=0

则2x2+9x－18=0,x=或x=－6.

由于y>0,只能x=,于是y=.

∴点P的坐标是（,）

（2）直线AP的方程是x－y+6=0.

设点M（m,0）,则M到直线AP的距离是.

于是=,又－6≤m≤6,解得m=2.

椭圆上的点（x,y）到点M的距离d有

d2=（x－2）2+y2=x－4x2+4+20－x2=（x－）2+15,

由于－6≤m≤6,∴当x=时,d取得最小值

[解]

（1）抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5,∴p=2.

∴抛物线方程为y2=4x.

（2）∵点A是坐标是（4,4）,由题意得B（0,4）,M（0,2）,

又∵F（1,0）,∴kFA=;MN⊥FA,∴kMN=-,

则FA的方程为y=（x-1）,MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=,

∴N的坐标（,）.

（1）由题意得,,圆M.的圆心是点（0,2）,半径为2,

当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.

当m≠4时,直线AK的方程为y=（x-m）,即为4x-（4-m）y-4m=0,

圆心M（0,2）到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1

∴当m>1时,AK与圆M相离;

当m=1时,AK与圆M相切;

当m<1时,AK与圆M相交.

[解]

（1）设曲线方程为y=ax2+,

由题意可知,0=a•64+,∴a=-……4分

∴曲线方程为y=-x2+.……6分

（2）设变轨点为C（x,y）,根据题意可知

＝1

（1）

y=-x2+

（2）得4y2-7y-36=0,

y=4或y=-（不合题意,舍去）∴y=4……9分

得x=6或x=