傅里叶变换推导Word格式文档下载.docx

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x（t）e2nm/Tdtj=口

J-00

（2）

若对任意参数f,上述积分都存在，则

（2）式确定了一个函数X（f）,称为x（t）的傅立叶变换。

如果已知X（f）则利用如下的傅立叶逆变换，还可复原x（t）:

A（r）=「X（f）elmf,:

TdfJ=口

J-oe>

（3）

若x（t）和X（f）同时满足

（2）、（3）式，则称他们是一个傅立叶变换

对，记为

X0Ox（f）

。

通常X（f）是一个复函数，因此可以写成如下两部分：

x（r{n+/（r）i

（4）

式子中R（f）,1（f）分别是X（f）的实部和虚部。

将上式表示为指数形式:

其中

\x（f）\=厂（C

（6）

工程技术中，常将x（t）看成一时间信号，相应的空间，称为时间域和空

域；

将其傅立叶变换X（f）看成频率函数，相应的空间称为频域。

IS

称为x（t）的傅立叶谱，而

0（门

称为其相角，这在物理上是有良好背景的。

的譬如此频率的的含义可以这样来理解：

应用欧拉公式可将指数项表示成正弦-余弦的形式，如果把

（2）式解释成离散项和的极限，则显然X（f）是包含了无限项正弦-余弦的和，而且f的每一个值确定了所对应的正弦-余弦的频率。

在以后的叙述中，我们不妨用t表示时间，用f表示频率；

同时用小写字母

表示时间函数，并用相应的大写字母表示其傅立叶变换。

傅立叶变换可很容易地推广到二维悄形。

假设x（t,s）是连续的和可积的，

且X（f,g）是可积的，则相应的傅立叶变换对如下：

X（f,g）=f，Jx（t>

S）e2ni{,u^,TdtdsJ=口

（7）

x亿s）=「X（f,g）e2ni{^^TdfdgJ=口

J-oo

（8）

3）离散傅立叶变换

尽管傅立叶级数和傅立叶变换具有非常优美的数学结构，但并不实用，并为他们都无法用有限字长的计算机作逻辑上的运算。

为此，我们必须建立傅立叶变换的数值方法，并由此导出DFT数据结构的来源。

a.傅立叶积分的离散化

山于傅立叶变换无法用数字计算机进行逻辑运算，工程分析中，通常采用抽样的方法，观测x（t）的一些离散值，然后利用数值积分将傅立叶变换离散化。

函数抽样是函数插值的逆过程，假定用取2N+1个互相间隔为

M

的节点的方法，当一个连续函数X（t）离散化为的一个序列：

{a（-A*Aa（-AZ）,a（0）,a（Aa（Z）,}

于是当N充分大时，有：

X（x（t）e2nil）dt

（9）

现在我们把（9）式中的求积函数当成周期为

2NZ的函数，以

j'

t、J=0,±

1,±

2,…±

N为节点，对（9）式用复化梯形公式做数值积分得

X（广）缶A/工x（n^t）e

（10）

对f进行离散化，取

f=jKN»

j=W・・N-\

则上式可改写：

=N・\

（11）

这就是一维傅立叶积分的离散表达式。

b离散傅立叶变换

在上面，我们普便的遇到了带有复指数乘积项的和式。

实际上，这种特殊的数据结构可利用以下更为一般的方式定义。

给定N个实或复的数列{x（0）,x（l）,……x（N-l）},定义

X{n）=工x（約尸加,〃=N-\,i=V-J

（12）

为｛x（k）｝的离散傅立叶变换，简称DFT。

我们指出，（11）式可以转化成上述一般形式。

这说明（12）式与傅立叶变换之间存在内在的联系，渴望获得与连续傅立叶变换相类似的性质，事实上确实如此。

下面我们就来做这件事。

首先说明,由（12）式确定的序列｛X（n）｝可以恢复为原序列｛x（k）｝o事实上，在（12）式两边同乘以

并对n从0到n-1求和得：

1V-In-\

XX{n）e2nnjifN=工

/j-0

N-\

2垃灯/皿I”"

'

.V-l

=Nx（j）+工班

Zkj1

注意到（13）式的和式中分子部分为0,从而

1JV-1

=-£

xg严（）」,"

1Nn-o

（14）

今后我们称（14）式是（12）式的逆变换，并称｛x（k）｝和｛X（n）｝为离散傅立

叶变换对，简记为

X｛n）

离散傅立叶变换的这种可恢复性质，在工程技术中有着极为重要的应用。

因为，可以通过抽样获得一组的离散值，并利用DFT转换为另一组数据，通过对变换数据的修改以及逆变换，达到对原数据的修正。

这也正是DFT最具魅力的地方。

应用DFT作数值分析，抽样也变得相当简单。

这时，可以抽取函数的任一片断，而无需彖傅立叶变换离散化那样做对称抽样。

4）快速傅里叶变换

本节我们将把注意力集中在如何计算DFT上。

如果我们不考虑（12）式中的

复指数部分的运算，则求解（12）式共需要'

*'

次乘法和'

*（\-1）次加法。

显然当'

很大时，其工作量是相当可观的。

为此，凯莱和卡柯提出了一种专门用于处理DFT的快速算法（FFT）,

大大减少了DFT的计算时间。

充分理解FFT的工作原理，这并不需要高深的数学知识，只要时刻的盯住

DFT的数据结构即可。

为了便于理解，我们先从最简单的悄形入手。

aFFT直观发展

注意到（12）式可以表示成一个矩阵运算，而FFT实际上是一个矩阵分解算

法，它对N的要求有一定的限制，通常N取成

2r

其中r是正整数。

为了更加直观，这里我们假定r二2,N=4,并引进记号

叫=严上口

（15）

x（\zi\TV/I*XXXX

则（12）式可改写为如下的矩阵形式:

Y（

0）'

\\

X

凤

2）

注意到

吠=1

k为整数，则（16）式还可简化为

）））y

0123AI\x（\z（xx（\

XXXX

0）d2）3）班a（h班

上式以及以后的式子中没有把

写成1,完全是为了以后推广的需要。

第二步我们要做的是，把上述矩阵分解为两个矩阵的乘积：

*X（0）、

1

°

0〕

]班0）]

X（l）

畸

昭

X⑵

班2）

仝3）,

2

上述分解基于以后要讲到的FFT算法理论，其中第一行和第二行的位置做了变换，，这是FFT本身所要求的。

以后将会看到，这种交换有利于数据存储，成为输岀倒置。

今引进

（0）、

0、

（卅0）、

巧⑴

H1）

州⑵

眄

H2）

（19）

则

*）、

%（0）、

Z1耐00、

3（0尸

M）

=

心⑴

1W；

00

1為

（1）

X

（2）

电

（2）

001瞅：

舛⑵

申3力

001町

\4丿

3⑶丿

（20）

于是求解X（n）分成了两次矩阵运算。

下面我们来分析一下这个过程的工作

量。

计算

召（0）

需要的一个复数乘法和一个复数加法，即A,（0）=x（0）+嗽x

（2）

这里没有用1代替

比：

）

是因为在一般情况下这一项通常不为1。

州⑴

同样需要一个复数乘法和一个复数加法。

只需要一个复数加法，这是因为

^

（2）=a（0）+iy,\

（2）=A（O）-耐班2）

怙⑵在计算

召（（））时已经计算过。

同样的原因，计算

K⑶只需要一个复数加法。

总结上述可知，计算

州（灯

共需4个复数加法和个2复数乘法。

类似的，计算

x2W

也需要4个复数加法和2个复数乘法。

于是计算X（n）共需要8个复数加法和4个复数乘法。

如果直接利用（12）式进行计算，则共需要16个复数乘法和12个复数加法。

显然，上述分解算法具有更高的效率，这正是FFT算法的思想。

更一般的，对

N=2r

FFT算法将把原矩阵分解为r个

NxN

矩阵的乘积，每个因子矩阵具有最小数据的复数加法和复数乘法运算。

如果推广上述结果，则当

时，FFT需要Nr/2个复数乘法和Nr个复数加法。

相应的，直接算法需要

N2

个复数乘法和N（N-l）个复数加法，两者的工作量之比为：

乘法2N/r,加法（7.N-1）/r,如果N=1024，则FFT算法的乘法运算次数将降低为直接法的二白分之一，显然工作量节省是相当可观的。

b以2为底的FFT算法。

假定

N=2r

则对任何不大于'

的数都可以用不超过r位的二进制数表示。

譬如，当24

时，则十进制数0,b2,3可以分别表示成二进制数00,01,10,11。

更一般的，当n,k<

N,可以用二进制重记为

……nrA）=（〃o+2/?

+……+2「nr_,）

k=……krA）=（kQ+2&

+……+2八/J

（21）

于是（12）式可以改写为

……二工X……！

>

（心介……c吟

^=0如0匕『0

（22）

/?

=（/;

0+2n}+……+2「“|）（心+2«

+……+2「1kr_}）

利用

昭"

=臥+狀

则

可改写成

哝=I叮......【片”

（23）

现在我们来考虑（23）式中的每一项，并利用

=呼=1

以简化之。

首先考虑（23）式中的第一项，得

U/2小匚］（引*2〃|+

VVN

类似的，对于（23）式中的第二项，有

口/2&

（%十2旳）