中考数学专题突破导学练同步第25讲圆的有关性质含答案Word文档下载推荐.docx

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知识点三：

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

1．定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．

同圆或等圆中：

（1）两个圆心角相等；

（2）两条弧相等；

（3）两条弦相等；

（4）两条弦的弦心距相等．四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立．

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

知识点四：

圆心角与圆周角

1．概念：

顶点在圆心上的角叫圆心角；

顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角．

2．性质

（1）圆心角的度数等于它所对弧的度数；

（2）一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的一半；

（3）同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等；

（4）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°

的圆周角所对的弦是直径．

圆周角的定义。

.圆周角性质的运用

知识点五：

垂径定理的应用

用垂径定理进行计算或证明，常需作出圆心到弦的垂线段（即弦心距），则垂足为弦的中点，再利用解半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的．

垂径定理的理解

垂径定理的及其推论的运用。

【考点解析】

考点一：

圆周角与圆心角的应用

【例题1】

（2017青海西宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD=120°

，则∠DCE=　60°

　．

【考点】M6：

圆内接四边形的性质；

M5：

圆周角定理．

【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．

【解答】解：

∵∠BOD=120°

，

∴∠A=∠BOD=60°

．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠DCE=∠A=60°

故答案为：

60°

【例题2】如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°

，∠A=25°

，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（　　）

A．25°

B．40°

C．50°

D．65°

【考点】切线的性质；

【分析】首先连接OC，由∠A=25°

，可求得∠BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OC⊥CD，继而求得答案．

连接OC，

∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°

∴AB是直径，

∵∠A=25°

∴∠BOC=2∠A=50°

∵CD是圆O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠D=90°

﹣∠BOC=40°

故选B．

考点二、垂径定理及应用

【例3】如图，AB为⊙O的直径，AB=6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°

，连接AD、OC、BC，下列结论不正确的是（　　）

A．EF∥CDB．△COB是等边三角形

C．CG=DGD．的长为π

【考点】弧长的计算；

切线的性质．

【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A；

根据等边三角形的判定定理判断B；

根据垂径定理判断C；

利用弧长公式计算出的长判断D．

∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，

∴AB⊥EF，又AB⊥CD，

∴EF∥CD，A正确；

∵AB⊥弦CD，

∴=，

∴∠COB=2∠A=60°

，又OC=OD，

∴△COB是等边三角形，B正确；

∴CG=DG，C正确；

的长为：

=π，D错误，

故选：

D．

【例题4】如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）

A．3B．4C．5D．6

【考点】垂径定理；

圆周角定理；

解直角三角形．

【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．

过点O作OD⊥BC于D，

则BC=2BD，

∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，

∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°

∴∠BOC=120°

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB==30°

∵⊙O的半径为4，

∴BD=OB•cos∠OBC=4×

=2，

∴BC=4．

B．

【中考热点】

（2017浙江湖州）如图，已知在△ABC中，AB=AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC=40°

，则的度数是　140　度．

【考点】M5：

KH：

等腰三角形的性质．

【分析】首先连接AD，由等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆交BC于点D，可得∠BAD=∠CAD=20°

，即可得∠ABD=70°

，继而求得∠AOD的度数，则可求得的度数．

连接AD、OD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°

即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=20°

，BD=DC，

∴∠ABD=70°

∴∠AOD=140°

∴的度数为140°

；

故答案为140．

【达标检测】

一、选择题：

1.（2017广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°

，则∠DAC的大小为（　　）

A．130°

B．100°

C．65°

D．50°

圆内接四边形的性质．

【分析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由等腰三角形的性质求得∠DAC的度数．

∵∠CBE=50°

∴∠ABC=180°

﹣∠CBE=180°

﹣50°

=130°

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠D=180°

﹣∠ABC=180°

﹣130°

=50°

∵DA=DC，

∴∠DAC==65°

故选C．

2.（2017贵州安顺）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（　　）

A．B．C．D．

【考点】T7：

解直角三角形；

JA：

平行线的性质；

【分析】首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；

连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB=90°

，又由平行线的性质知∠A=∠BOC，则cos∠A=cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．

连接BD．

∵AB是直径，∴∠ADB=90°

∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．

∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，

∴cos∠BOC==，

∴cos∠A=cos∠BOC=．

又∵cos∠A=，AB=4，

∴AD=．

3.（2017湖北宜昌）如图，四边形ABCD内接⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　）

A．AB=ADB．BC=CDC．D．∠BCA=∠DCA

【考点】M4：

圆心角、弧、弦的关系．

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．

A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；

B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；

C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；

D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．

4.（2017山东泰安）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（　　）

A．180°

﹣2αB．2αC．90°

+αD．90°

﹣α

【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．

∵连接OC，

∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，

∴∠BOC=2∠A=2α，

∴∠OBC=∠OCB==90°

﹣α．

故选D．

二、填空题：

5.（2017.四川眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=　5　cm．

【考点】M2：

垂径定理；

KQ：

勾股定理．

【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2=42+（R﹣2）2，计算求出R即可．

连接OA，

∵OC⊥AB，

∴AD=AB=4cm，

设⊙O的半径为R，

由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，

∴R2=42+（R﹣2）2，

解得R=5

∴OC=5cm．

故答案为5．

6.（2017青海西宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°

，则CD的长为（　　）

KO：

含30度角的直角三角形；

【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．

作OH⊥CD于H，连结OC，如图，

∵OH⊥CD，

∴HC=HD，

∵AP=2，BP=6，

∴AB=8，

∴OA=4，

∴OP=OA﹣AP=2，

在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°

∴∠POH=30°

∴OH=OP=1，

在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，

∴CH==，

∴CD=2CH=2．

7.（2017湖北荆州）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是　60°

或120°

L8：

菱形的性质；

【分析】连接OB，则AB=OA=OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC=60°

，∠AD′C=120°

，据此可得出结论．

连接OB，

∵四边形OABC是菱形，

∴AB=OA=OB=BC，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠ADC=60°

8.（2017•新疆）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　）

M2：

垂径定理．

【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再设OA=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中利用勾股定理求出r的值，再求出BE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．

∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为