高考数学备战专题高考数学理二轮专题练习解析几何含答案Word下载.docx

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已知直线过点（x0，y0），其斜率为k，则直线方程为y－y0＝k（x－x0），它不包括垂直于x轴的直线．

（2）斜截式：

已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线．

（3）两点式：

已知直线经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，则直线方程为＝，它不包括垂直于坐标轴的直线．

（4）截距式：

已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为＋＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．

（5）一般式：

任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的形式．

[问题2]　已知直线过点P（1,5），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．

答案　5x－y＝0或x＋y－6＝0

3．点到直线的距离及两平行直线间的距离

（1）点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝；

（2）两平行线l1：

Ax＋By＋C1＝0，l2：

Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.

[问题3]　两平行直线3x＋2y－5＝0与6x＋4y＋5＝0间的距离为________．

答案　

4．两直线的平行与垂直

①l1：

y＝k1x＋b1，l2：

y＝k2x＋b2（两直线斜率存在，且不重合），则有l1∥l2⇔k1＝k2；

l1⊥l2⇔k1·

k2＝－1.

②l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；

l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

特别提醒：

（1）＝≠、≠、＝＝仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；

（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．

[问题4]　设直线l1：

x＋my＋6＝0和l2：

（m－2）x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；

当m＝________时，l1⊥l2；

当________时l1与l2相交；

当m＝________时，l1与l2重合．

答案　－1　　m≠3且m≠－1　3

5．圆的方程

（1）圆的标准方程：

（x－a）2＋（y－b）2＝r2.

（2）圆的一般方程：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>

0），只有当D2＋E2－4F>

0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为（－，－），半径为的圆．

[问题5]　若方程a2x2＋（a＋2）y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a＝________.

答案　－1

6．直线、圆的位置关系

（1）直线与圆的位置关系

直线l：

Ax＋By＋C＝0和圆C：

（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r>

0）有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：

①代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：

Δ>

0⇔相交；

Δ<

0⇔相离；

Δ＝0⇔相切；

②几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：

设圆心到直线的距离为d，则d<

r⇔相交；

d>

r⇔相离；

d＝r⇔相切．

（2）圆与圆的位置关系

已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则①当|O1O2|>

r1＋r2时，两圆外离；

②当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；

③当|r1－r2|<

|O1O2|<

r1＋r2时，两圆相交；

④当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；

⑤当0≤|O1O2|<

|r1－r2|时，两圆内含．

[问题6]　双曲线－＝1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________．

答案　内切

7．对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：

Fl，否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线．

[问题7]　已知平面内两定点A（0,1），B（0，－1），动点M到两定点A、B的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是________．

答案　＋＝1

8．求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．

（1）椭圆标准方程：

焦点在x轴上，＋＝1（a>

b>

0）；

焦点在y轴上，＋＝1（a>

0）．

（2）双曲线标准方程：

焦点在x轴上，－＝1（a>

0，b>

焦点在y轴上，－＝1（a>

（3）与双曲线－＝1具有共同渐近线的双曲线系为－＝λ（λ≠0）．

（4）抛物线标准方程

焦点在x轴上：

y2＝±

2px（p>

焦点在y轴上：

x2＝±

2py（p>

[问题8]　与双曲线－＝1有相同的渐近线，且过点（－3,2）的双曲线方程为________．

答案　－＝1

9．

（1）在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：

有两解时相交；

无解时相离；

有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．

（2）直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则所得弦长

|P1P2|＝或|P1P2|＝.

（3）过抛物线y2＝2px（p>

0）焦点F的直线l交抛物线于C（x1，y1）、D（x2，y2），则

（1）焦半径|CF|＝x1＋；

（2）弦长|CD|＝x1＋x2＋p；

（3）x1x2＝，y1y2＝－p2.

[问题9]　已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．

解析　∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，

∴xA＋xB＝.

∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.

易错点1　直线倾斜角与斜率关系不清致误

例1　已知直线xsinα＋y＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是__________．

错解　由题意得，直线xsinα＋y＝0的斜率k＝－sinα，

∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，直线的倾斜角的变化范围是.

找准失分点　直线斜率k＝tanβ（β为直线的倾斜角）在[0，π）上是不单调的且不连续．

正解　由题意得，直线xsinα＋y＝0的斜率k＝－sinα，

∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，当－1≤k<

0时，倾斜角的变化范围是；

当0≤k≤1时，倾斜角的变化范围是.

故直线的倾斜角的变化范围是∪.

答案　∪

易错点2　忽视斜率不存在情形致误

例2　已知直线l1：

（t＋2）x＋（1－t）y＝1与l2：

（t－1）x＋（2t＋3）y＋2＝0互相垂直，则t的值为________．

错解　直线l1的斜率k1＝－，

直线l2的斜率k2＝－，

∵l1⊥l2，∴k1·

k2＝－1，

即·

＝－1，

解得t＝－1.

找准失分点　

（1）盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．

（2）忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形．

正解　方法一　

（1）当l1，l2的斜率都存在时，

由k1·

k2＝－1得，t＝－1.

（2）若l1的斜率不存在，

此时t＝1，l1的方程为x＝，l2的方程为y＝－，

显然l1⊥l2，符合条件；

若l2的斜率不存在，此时t＝－，

易知l1与l2不垂直，综上t＝－1或t＝1.

方法二　l1⊥l2⇔（t＋2）（t－1）＋（1－t）（2t＋3）＝0⇔t＝1或t＝－1.

答案　－1或1

易错点3　忽视“判别式”致误

例3　已知双曲线x2－＝1，过点A（1,1）能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？

若存在，求出直线l的方程；

若不存在，说明理由．

错解1　设被A（1,1）所平分的弦所在直线方程为

y＝k（x－1）＋1.

代入双曲线方程x2－＝1，

整理得（2－k2）x2＋2k（k－1）x－3＋2k－k2＝0，

设直线与双曲线交点为M（x1，y1），N（x2，y2），

由根与系数的关系，得x1＋x2＝，

点A（1,1）是弦中点，则＝1.

∴＝1，解得k＝2，

故所求直线方程为2x－y－1＝0.

错解2　设符合题意的直线l存在，并设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

式①－②得（x1－x2）（x1＋x2）＝（y1－y2）（y1＋y2）③

因为A（1,1）为线段PQ的中点，

所以

将式④、⑤代入式③，得x1－x2＝（y1－y2）．

若x1≠x2，则直线l的斜率k＝＝2.

所以符合题设条件的直线的方程为2x－y－1＝0.

找准失分点　没有判断直线2x－y－1＝0与双曲线是否相交．

正解1　设被A（1,1）所平分的弦所在直线方程为

代入双曲线方程x2－＝1，整理得，

（2－k2）x2＋2k（k－1）x－3＋2k－k2＝0，

由Δ＝4k2（k－1）2－4（2－k2）（2k－3－k2）>

0，

解得k<

.

∴＝1，解得k＝2>

，

故不存在被点A（1,1）平分的弦．

正解2　设符合题意的直线l存在，并设P（x1，y1）、Q（x2，y2），

则

所以直线l的方程为2x－y－1＝0，

再由，得2x2－4x＋3＝0.

根据Δ＝－8<

0，所以所求直线不存在．

1．（2014·

安徽）过点P（－，－1）的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　方法一　如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.

由题意知|OP|＝2，OA＝1，

则sinα＝，

所以α＝30°

，∠BPA＝60°

故直线l的倾斜角的取值范围是.故D.

方法二　设过点P的直线方程为y＝k（x＋）－1，则由直线和圆有公共点知≤1.

解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]．

2．（2014·

广东）若实数k满足0<

k<

9，则曲线－＝1与曲线－＝1的（　　）

A．焦距相等B．实半轴长相等

C．虚半轴长相等D．离心率相等

答案　A

解析　因为0<

9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线－＝1的实半轴长为5，虚半轴长为，焦距为2＝2，离心率为.双曲线－＝1的实半轴长为，虚半轴长为3，焦距为2＝2，离心率为，故两曲线只有焦距相等．故选A.

3．若椭圆＋＝1（m>

0，n>

0）与曲线x2＋y2＝|m－n|无交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）

A.B.C.D.