高考数学备战专题高考数学理二轮专题练习解析几何含答案Word下载.docx
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已知直线过点(x0,y0),其斜率为k,则直线方程为y-y0=k(x-x0),它不包括垂直于x轴的直线.
(2)斜截式:
已知直线在y轴上的截距为b,斜率为k,则直线方程为y=kx+b,它不包括垂直于x轴的直线.
(3)两点式:
已知直线经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点,则直线方程为=,它不包括垂直于坐标轴的直线.
(4)截距式:
已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为+=1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.
(5)一般式:
任何直线均可写成Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的形式.
[问题2] 已知直线过点P(1,5),且在两坐标轴上的截距相等,则此直线的方程为________.
答案 5x-y=0或x+y-6=0
3.点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=;
(2)两平行线l1:
Ax+By+C1=0,l2:
Ax+By+C2=0间的距离为d=.
[问题3] 两平行直线3x+2y-5=0与6x+4y+5=0间的距离为________.
答案
4.两直线的平行与垂直
①l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2(两直线斜率存在,且不重合),则有l1∥l2⇔k1=k2;
l1⊥l2⇔k1·
k2=-1.
②l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,则有l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0;
l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
特别提醒:
(1)=≠、≠、==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件;
(2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线.
[问题4] 设直线l1:
x+my+6=0和l2:
(m-2)x+3y+2m=0,当m=________时,l1∥l2;
当m=________时,l1⊥l2;
当________时l1与l2相交;
当m=________时,l1与l2重合.
答案 -1 m≠3且m≠-1 3
5.圆的方程
(1)圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2.
(2)圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>
0),只有当D2+E2-4F>
0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圆心为(-,-),半径为的圆.
[问题5] 若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a=________.
答案 -1
6.直线、圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系
直线l:
Ax+By+C=0和圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>
0)有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断:
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):
Δ>
0⇔相交;
Δ<
0⇔相离;
Δ=0⇔相切;
②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):
设圆心到直线的距离为d,则d<
r⇔相交;
d>
r⇔相离;
d=r⇔相切.
(2)圆与圆的位置关系
已知两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,则①当|O1O2|>
r1+r2时,两圆外离;
②当|O1O2|=r1+r2时,两圆外切;
③当|r1-r2|<
|O1O2|<
r1+r2时,两圆相交;
④当|O1O2|=|r1-r2|时,两圆内切;
⑤当0≤|O1O2|<
|r1-r2|时,两圆内含.
[问题6] 双曲线-=1的左焦点为F1,顶点为A1、A2,P是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________.
答案 内切
7.对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”,抓住关键词,例如椭圆中定长大于定点之间的距离,双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”,否则只是双曲线的其中一支.在抛物线的定义中必须注意条件:
Fl,否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线.
[问题7] 已知平面内两定点A(0,1),B(0,-1),动点M到两定点A、B的距离之和为4,则动点M的轨迹方程是________.
答案 +=1
8.求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程,一般遵循先定位,再定型,后定量的步骤,即先确定焦点的位置,再设出其方程,求出待定系数.
(1)椭圆标准方程:
焦点在x轴上,+=1(a>
b>
0);
焦点在y轴上,+=1(a>
0).
(2)双曲线标准方程:
焦点在x轴上,-=1(a>
0,b>
焦点在y轴上,-=1(a>
(3)与双曲线-=1具有共同渐近线的双曲线系为-=λ(λ≠0).
(4)抛物线标准方程
焦点在x轴上:
y2=±
2px(p>
焦点在y轴上:
x2=±
2py(p>
[问题8] 与双曲线-=1有相同的渐近线,且过点(-3,2)的双曲线方程为________.
答案 -=1
9.
(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零,利用解的情况可判断位置关系:
有两解时相交;
无解时相离;
有唯一解时,在椭圆中相切.在双曲线中需注意直线与渐近线的关系,在抛物线中需注意直线与对称轴的关系,而后判断是否相切.
(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长
|P1P2|=或|P1P2|=.
(3)过抛物线y2=2px(p>
0)焦点F的直线l交抛物线于C(x1,y1)、D(x2,y2),则
(1)焦半径|CF|=x1+;
(2)弦长|CD|=x1+x2+p;
(3)x1x2=,y1y2=-p2.
[问题9] 已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为________.
解析 ∵|AF|+|BF|=xA+xB+=3,
∴xA+xB=.
∴线段AB的中点到y轴的距离为=.
易错点1 直线倾斜角与斜率关系不清致误
例1 已知直线xsinα+y=0,则该直线的倾斜角的变化范围是__________.
错解 由题意得,直线xsinα+y=0的斜率k=-sinα,
∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1,直线的倾斜角的变化范围是.
找准失分点 直线斜率k=tanβ(β为直线的倾斜角)在[0,π)上是不单调的且不连续.
正解 由题意得,直线xsinα+y=0的斜率k=-sinα,
∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1,当-1≤k<
0时,倾斜角的变化范围是;
当0≤k≤1时,倾斜角的变化范围是.
故直线的倾斜角的变化范围是∪.
答案 ∪
易错点2 忽视斜率不存在情形致误
例2 已知直线l1:
(t+2)x+(1-t)y=1与l2:
(t-1)x+(2t+3)y+2=0互相垂直,则t的值为________.
错解 直线l1的斜率k1=-,
直线l2的斜率k2=-,
∵l1⊥l2,∴k1·
k2=-1,
即·
=-1,
解得t=-1.
找准失分点
(1)盲目认为两直线的斜率存在,忽视对参数的讨论.
(2)忽视两直线有一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,两直线垂直这一情形.
正解 方法一
(1)当l1,l2的斜率都存在时,
由k1·
k2=-1得,t=-1.
(2)若l1的斜率不存在,
此时t=1,l1的方程为x=,l2的方程为y=-,
显然l1⊥l2,符合条件;
若l2的斜率不存在,此时t=-,
易知l1与l2不垂直,综上t=-1或t=1.
方法二 l1⊥l2⇔(t+2)(t-1)+(1-t)(2t+3)=0⇔t=1或t=-1.
答案 -1或1
易错点3 忽视“判别式”致误
例3 已知双曲线x2-=1,过点A(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点?
若存在,求出直线l的方程;
若不存在,说明理由.
错解1 设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为
y=k(x-1)+1.
代入双曲线方程x2-=1,
整理得(2-k2)x2+2k(k-1)x-3+2k-k2=0,
设直线与双曲线交点为M(x1,y1),N(x2,y2),
由根与系数的关系,得x1+x2=,
点A(1,1)是弦中点,则=1.
∴=1,解得k=2,
故所求直线方程为2x-y-1=0.
错解2 设符合题意的直线l存在,并设P(x1,y1),Q(x2,y2),则
式①-②得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)③
因为A(1,1)为线段PQ的中点,
所以
将式④、⑤代入式③,得x1-x2=(y1-y2).
若x1≠x2,则直线l的斜率k==2.
所以符合题设条件的直线的方程为2x-y-1=0.
找准失分点 没有判断直线2x-y-1=0与双曲线是否相交.
正解1 设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为
代入双曲线方程x2-=1,整理得,
(2-k2)x2+2k(k-1)x-3+2k-k2=0,
由Δ=4k2(k-1)2-4(2-k2)(2k-3-k2)>
0,
解得k<
.
∴=1,解得k=2>
,
故不存在被点A(1,1)平分的弦.
正解2 设符合题意的直线l存在,并设P(x1,y1)、Q(x2,y2),
则
所以直线l的方程为2x-y-1=0,
再由,得2x2-4x+3=0.
根据Δ=-8<
0,所以所求直线不存在.
1.(2014·
安徽)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.B.
C.D.
答案 D
解析 方法一 如图,过点P作圆的切线PA,PB,切点为A,B.
由题意知|OP|=2,OA=1,
则sinα=,
所以α=30°
,∠BPA=60°
故直线l的倾斜角的取值范围是.故D.
方法二 设过点P的直线方程为y=k(x+)-1,则由直线和圆有公共点知≤1.
解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是[0,].
2.(2014·
广东)若实数k满足0<
k<
9,则曲线-=1与曲线-=1的( )
A.焦距相等B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等D.离心率相等
答案 A
解析 因为0<
9,所以两条曲线都表示双曲线.双曲线-=1的实半轴长为5,虚半轴长为,焦距为2=2,离心率为.双曲线-=1的实半轴长为,虚半轴长为3,焦距为2=2,离心率为,故两曲线只有焦距相等.故选A.
3.若椭圆+=1(m>
0,n>
0)与曲线x2+y2=|m-n|无交点,则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A.B.C.D.