初中数学因式分解的几种经典技巧Word文档格式.docx

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要发现一个规律就是：

当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个（x-a）因式

这对我们后面的学习有帮助。

【2】公式法

将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

注意：

使用公式法前，建议先提取公因式。

例二：

-4分解因式

分析：

此题较为简单，可以看出4=22，适用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）2

原式=（x+2）（x-2）

【3】十字相乘法

是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积，把常数项c分解成两个因数的积，并使正好是一次项b，那么可以直接写成结果

　例三：

把-7x+3分解因式.

　　分析：

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

　　分解二次项系数（只取正因数）：

　　2＝1×

2＝2×

1；

　　分解常数项：

　　3=1×

3=3×

1=（-3）×

（-1）=（-1）×

（-3）.

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

　　11

　　╳

　　23

　　1×

3+2×

1=5

　　13

　　21

1+2×

3=7

　　1-1

　　2-3

（-3）+2×

（-1）=-5

　　1-3

　　2-1

（-1）+2×

（-3）=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解原式=（x-3）（2x-1）.

对于二次三项式+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=，把，排列如下：

　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式+bx+c的一次项系数b，即=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式x+c1与之积，即

　+bx+c=（x+）（x+）.

这种方法要多实验，多做，多练。

它可以包括前两者方法。

【4】分组分解法

也是比较常规的方法。

一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来

需要可持续性！

例四：

可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式

原式=

=（x+2+y）（x+2-y）

分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。

【5】换元法

整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上

例五：

分解因式

考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y

那么原式=-2a+1

=

回代

【6】主元法

这种方法要难一些，多练即可

即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数

例六：

本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。

　　原式=---------------------【主元法】

　　=---------------------【十字相乘法】

可见，十字相乘十分重要。

【7】双十字相乘法

难度较之前的方法要提升许多。

是用来分解形如的二次六项式

　　在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。

则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）

要诀：

把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

　　例七：

　　解：

原式＝0×

1×

＋ab＋＋a－b－2

　　＝（0×

a＋b＋1）（a＋b－2）

　　＝（b＋1）（a＋b－2）

【8】待定系数法

将式子看成方程，将方程的解代入

这时就要用到【1】中提到的知识点了

例八：

+x-2

该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法

我们可以把它当方程做，+x-2=0

一眼看出，该方程有一根为x=1

那么必有一因式为（x-1）

结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）

一次项系数必为1（因为与1相乘要为1）

所以另一因式为（x+2）

分解为（x-1）（x+2）

【9】列竖式

让人拍案叫绝的方法。

原理和小学的除法差不多。

要建立在待定系数法的方程法上

不足的项要用0补

除的时候，一定要让第一项抵消

例九：

提示：

x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）

那么该式分解为（x+1）（+2x-2）

因式分解还有许多方法，只是不太常见，就不在此列举了。

考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。

xy＋6－2x－3y

（x＋2）（x－3）＋（x＋2）（x＋4）

12x^2－29x＋15

x（y＋2）－x－y－1

5ax+5bx+3ay+3by

12a2b（x－y）－4ab（y－x）

（x－1）2（3x－2）＋（2－3x）

x2－11x＋24

y2－12y－28

x2＋4x－5

y4－3y3－28y2

蚊子与牛一样重

从前有一只骄傲的蚊子，总认为自己的体重和牛是一样重。

有一天，它找到了牛，并说出了体重一样的理由。

它认为，可以设自己的体重为a,牛的体重为b，则有：

a2－2ab＋b2=b2－2ab＋a2

左右两边分别因式分解为：

（a－b）2=（b－a）2

从而就有：

a－b=b－a

移项，得：

2a=2b,

即a=b

蚊子骄傲地把自己的理由说完，牛睁大了眼睛，听傻了！

①请同学们想一想，牛和蚊子的体重真的会一样吗？

若不一样，那么蚊子的证明究竟错在哪里呢？

②讲这个例子的目的何在？