高二数学函数的单调性与导数测试题Word文件下载.docx
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=（x—2）ex,
令f‘（x）>
0，解得x>
2,故选D.
3.已知函数y=f（x）（x€R）上任一点（xo,f（x。
））处的切线斜率k=（沟
—2）（x0+1）2,则该函数的单调递减区间为（）
A.［—1,+x）B.（—x,2］
C.（—x,—1）和（1,2）D.［2，+乂）
［答案］B
［解析］令k<
0得x°
w2,由导数的几何意义可知，函数的单调
减区间为（一x,2].
4.已知函数y=xf‘（x）的图象如图
（1）所示（其中f‘（x）是函数f（x）
的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）
［答案］C
［解析］当0<
x<
1时xf‘（x）<
•••f（x）<
0，故y=f（x）在（0,1）上为减函数
当x>
1时xf‘（x）>
0,Af‘（x）>
0,故y=f（x）在（1，+北）上为增函数，因此否定A、B、D故选C.
5.函数y=xsinx+cosx,x€（—n,n的单调增区间是（）
C.i-n—才和和n寸
d.；
—no和牙,n
［答案］A
［解析］y=xcosx，当一n<
<
—n寸，
COSX<
0,/.y'
=xcosx>
0,
当0<
n时寸，cosx>
0,「•y'
6.下列命题成立的是（）
A.若f（x）在（a,b）内是增函数，则对任何x€（a,b）,都有f'
（x）>
B.若在（a，b）内对任何x都有f'
0，则f（x）在（a，b）上是增
函数
C.若f（x）在（a,b）内是单调函数，则f'
（x）必存在
D.若f'
（x）在（a，b）上都存在，则f（x）必为单调函数
［答案］B
［解析］若f（x）在（a，b）内是增函数，贝Sf'
0,故A错；
f（x）在（a,b）内是单调函数与f'
（x）是否存在无必然联系，故C错；
f（x）=2在（a,b）上的导数为f'
（x）=0存在，但f（x）无单调性，故D错.
7.（2007福建理，11）已知对任意实数X,有f（—x）=—f（x）,g（—
x）=g（x），且x>
0时，f'
0,g'
0，则x<
0时（）
A.f'
0B.f'
（x）<
C.f'
0D.f'
［解析］f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，奇（偶）函数在关于原点对
称的两个区间上单调性相同（反）,「•x<
0时，f‘（x）>
0,g‘（x）<
8.f（x）是定义在（0,+乂）上的非负可导函数，且满足xff（x）+
f（x）<
0,对任意正数a、b,若a<
b,则必有（）
A.af（a）<
f（b）B.bf（b）<
f（a）
C.af（b）<
bf（a）D.bf（a）<
af（b）
［解析］Txf‘（x）+f（x）<
0,且x>
0,f（x）>
二f（X）<
-弓，即f（x）在（0,+x）上是减函数，
又0vavb,af（b）<
bf（a）.
9.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f‘（x）>
0,贝S必有（）
A.f（0）+f
（2）<
2f
（1）B.f（0）+f
（2）<
2f
（1）
C.f（0）+f
（2）>
2f
（1）D.f（0）+f
（2）>
2f
（1）
［解析］由（x—1f（x）>
0得f（x）在［1，+乂）上单调递增，在（-
=,1］上单调递减或f（x）恒为常数，
故f（0）+f
（2）>
2f
（1）.故应选C.
10.（2010江西理，12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0）,则导函数y=S'
（t）的图像大致为
［解析］由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增t减t
增—减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.
二、填空题
1
11.已知y=§
x3+bx2+（b+2）x+3在R上不是单调增函数，则b的范围为.
［答案］b<
—1或b>
2
［解析］若y‘=x2+2bx+b+2>
0恒成立，则△=4b2—4（b+
2）w0,—1wbw2,
由题意bv—1或b>
2.
12.已知函数f（x）=ax—Inx,若f（x）>
1在区间（1,+兔）内恒成
立，实数a的取值范围为.
［答案］a>
1
1+Inx
［解析］由已知a>
—在区间（1,+*）内恒成立.
、r1+lnx…，Inx
设g（x）=，贝Ug（x）=—尹v0（x>
1）,
二g（x）=—在区间（1,+乂）内单调递减,
ZV
二g（x）vg
（1）.
•-g
（1）=1,
v1在区间（1,+x）内恒成立，
二a>
1.
13.函数y=ln（x2—x-2）的单调递减区间为.
［答案］（—=1）
［解析］函数y=In（x2—x—2）的定义域为（2,+乂）U（—「一1）,
21
令f（x）=x2—x—2,f‘（x）=2x—1<
0,得x<
2，
二函数y=In（x2—x—2）的单调减区间为（一^，―1）.
14.若函数y=x3—ax2+4在（0,2）内单调递减，则实数a的取值
范围是.
［答案］［3,+乂）
［解析］y‘=3x2—2ax,由题意知3x2—2ax<
0在区间（0,2）内恒成立，
3
即a>
qx在区间（0,2）上恒成立，/-a>
3.
三、解答题
15.设函数f（x）=x3—3ax2+3bx的图象与直线12x+y—1=0相切于点（1,—11）.
（1）求a、b的值;
（2）讨论函数f（x）的单调性.
［解析］
（1）求导得ff（x）=3x2—6ax+3b.
由于f（x）的图象与直线12x+y—1=0相切于点（1,—11），所以
f
（1）=—11,f‘
（1）=—12,
1—3a+3b=—11即，
13—6a+3b=—12
解得a=1,b=—3.
（2）由a=1,b=—3得
f‘（x）=3x2—6ax+3b=3（x2—2x—3）
=3（x+1）（x—3）.
令f‘（x）>
0，解得x<
—1或x>
3;
又令f（x）<
0，解得—1<
所以当x€（—^,—1）时，f（x）是增函数；
当x€（3，+乂）时，f（x）也是增函数；
当x€（—1,3）时，f（x）是减函数.
16.求证：
方程x—qsinx=0只有一个根x=0.
［证明］设f（x）=x—2sinx,x€（—，+x）,
贝卩f‘（x）=1—qcosx〉0,
•••f（x）在（—x,+x）上是单调递增函数.
而当x=0时，f（x）=0,
二方程x—2Sinx=0有唯一的根x=0.
17.已知函数y=ax与y=—-在（0,+乂）上都是减函数，试确
x
定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.
［分析］可先由函数y=ax与y=—x的单调性确定a、b的取值zv
范围，再根据a、b的取值范围去确定y=ax3+bx2+5的单调区间.
［解析］t函数y=ax与y=—"
在（0,+^）上都是减函数，/.a
v0,bv0.
由y=ax3+bx2+5得y‘=3a/+2bx.
22b
令y>
0,得3ax+2bx>
0,--—3avxv0.
（2b
•••当x€[—3a，0时，函数为增函数.
令y‘v0,即3ax2+2bxv0,
二在厂x,—3a/（0,+x）上时，函数为减函数.
18.（2010新课标全国文，21）设函数f（x）=x（ex—1）—ax2.
（1）若a=$求f（x）的单调区间；
⑵若当x>
0时f（x）>
0,求a的取值范围.
11
［解析］
（1）a=2时，f（x）=x（g—1）—2x2,
f‘（x）=1+x$—x=1）（x+1）.
当x€（——1）时f（x）>
0;
当x€（-1,0）时f（x）<
当x€（0,
+x）时，f（x）>
故f（x）在1],[0,+乂）上单调递增，在[—1,0]上单调递减．
（2）f（x）=x（ex—1—ax）.
令g（x）=ex—1—ax,贝Sg‘（x）=ex—a.
若a<
1,则当x€（0,+乂）时，g'
0,g（x）为增函数，而g（0）=0,从而当x>
0时g（x）>
0,即f（x）>
当a>
1，则当x€（0,lna）时，g'
0,g（x）为减函数，而g（0）=0,从而当x€（0,lna）时g（x）<
0，即f（x）<
综合得a的取值范围为（―=,1].
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