高二数学函数的单调性与导数测试题Word文件下载.docx
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=(x—2)ex,
令f‘(x)>
0,解得x>
2,故选D.
3.已知函数y=f(x)(x€R)上任一点(xo,f(x。
))处的切线斜率k=(沟
—2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为()
A.[—1,+x)B.(—x,2]
C.(—x,—1)和(1,2)D.[2,+乂)
[答案]B
[解析]令k<
0得x°
w2,由导数的几何意义可知,函数的单调
减区间为(一x,2].
4.已知函数y=xf‘(x)的图象如图
(1)所示(其中f‘(x)是函数f(x)
的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()
[答案]C
[解析]当0<
x<
1时xf‘(x)<
•••f(x)<
0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数
当x>
1时xf‘(x)>
0,Af‘(x)>
0,故y=f(x)在(1,+北)上为增函数,因此否定A、B、D故选C.
5.函数y=xsinx+cosx,x€(—n,n的单调增区间是()
C.i-n—才和和n寸
d.;
—no和牙,n
[答案]A
[解析]y=xcosx,当一n<
<
—n寸,
COSX<
0,/.y'
=xcosx>
0,
当0<
n时寸,cosx>
0,「•y'
6.下列命题成立的是()
A.若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何x€(a,b),都有f'
(x)>
B.若在(a,b)内对任何x都有f'
0,则f(x)在(a,b)上是增
函数
C.若f(x)在(a,b)内是单调函数,则f'
(x)必存在
D.若f'
(x)在(a,b)上都存在,则f(x)必为单调函数
[答案]B
[解析]若f(x)在(a,b)内是增函数,贝Sf'
0,故A错;
f(x)在(a,b)内是单调函数与f'
(x)是否存在无必然联系,故C错;
f(x)=2在(a,b)上的导数为f'
(x)=0存在,但f(x)无单调性,故D错.
7.(2007福建理,11)已知对任意实数X,有f(—x)=—f(x),g(—
x)=g(x),且x>
0时,f'
0,g'
0,则x<
0时()
A.f'
0B.f'
(x)<
C.f'
0D.f'
[解析]f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对
称的两个区间上单调性相同(反),「•x<
0时,f‘(x)>
0,g‘(x)<
8.f(x)是定义在(0,+乂)上的非负可导函数,且满足xff(x)+
f(x)<
0,对任意正数a、b,若a<
b,则必有()
A.af(a)<
f(b)B.bf(b)<
f(a)
C.af(b)<
bf(a)D.bf(a)<
af(b)
[解析]Txf‘(x)+f(x)<
0,且x>
0,f(x)>
二f(X)<
-弓,即f(x)在(0,+x)上是减函数,
又0vavb,af(b)<
bf(a).
9.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f‘(x)>
0,贝S必有()
A.f(0)+f
(2)<
2f
(1)B.f(0)+f
(2)<
2f
(1)
C.f(0)+f
(2)>
2f
(1)D.f(0)+f
(2)>
2f
(1)
[解析]由(x—1f(x)>
0得f(x)在[1,+乂)上单调递增,在(-
=,1]上单调递减或f(x)恒为常数,
故f(0)+f
(2)>
2f
(1).故应选C.
10.(2010江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'
(t)的图像大致为
[解析]由图象知,五角星露出水面的面积的变化率是增t减t
增—减,其中恰露出一个角时变化不连续,故选A.
二、填空题
1
11.已知y=§
x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为.
[答案]b<
—1或b>
2
[解析]若y‘=x2+2bx+b+2>
0恒成立,则△=4b2—4(b+
2)w0,—1wbw2,
由题意bv—1或b>
2.
12.已知函数f(x)=ax—Inx,若f(x)>
1在区间(1,+兔)内恒成
立,实数a的取值范围为.
[答案]a>
1
1+Inx
[解析]由已知a>
—在区间(1,+*)内恒成立.
、r1+lnx…,Inx
设g(x)=,贝Ug(x)=—尹v0(x>
1),
二g(x)=—在区间(1,+乂)内单调递减,
ZV
二g(x)vg
(1).
•-g
(1)=1,
v1在区间(1,+x)内恒成立,
二a>
1.
13.函数y=ln(x2—x-2)的单调递减区间为.
[答案](—=1)
[解析]函数y=In(x2—x—2)的定义域为(2,+乂)U(—「一1),
21
令f(x)=x2—x—2,f‘(x)=2x—1<
0,得x<
2,
二函数y=In(x2—x—2)的单调减区间为(一^,―1).
14.若函数y=x3—ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值
范围是.
[答案][3,+乂)
[解析]y‘=3x2—2ax,由题意知3x2—2ax<
0在区间(0,2)内恒成立,
3
即a>
qx在区间(0,2)上恒成立,/-a>
3.
三、解答题
15.设函数f(x)=x3—3ax2+3bx的图象与直线12x+y—1=0相切于点(1,—11).
(1)求a、b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
[解析]
(1)求导得ff(x)=3x2—6ax+3b.
由于f(x)的图象与直线12x+y—1=0相切于点(1,—11),所以
f
(1)=—11,f‘
(1)=—12,
1—3a+3b=—11即,
13—6a+3b=—12
解得a=1,b=—3.
(2)由a=1,b=—3得
f‘(x)=3x2—6ax+3b=3(x2—2x—3)
=3(x+1)(x—3).
令f‘(x)>
0,解得x<
—1或x>
3;
又令f(x)<
0,解得—1<
所以当x€(—^,—1)时,f(x)是增函数;
当x€(3,+乂)时,f(x)也是增函数;
当x€(—1,3)时,f(x)是减函数.
16.求证:
方程x—qsinx=0只有一个根x=0.
[证明]设f(x)=x—2sinx,x€(—,+x),
贝卩f‘(x)=1—qcosx〉0,
•••f(x)在(—x,+x)上是单调递增函数.
而当x=0时,f(x)=0,
二方程x—2Sinx=0有唯一的根x=0.
17.已知函数y=ax与y=—-在(0,+乂)上都是减函数,试确
x
定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.
[分析]可先由函数y=ax与y=—x的单调性确定a、b的取值zv
范围,再根据a、b的取值范围去确定y=ax3+bx2+5的单调区间.
[解析]t函数y=ax与y=—"
在(0,+^)上都是减函数,/.a
v0,bv0.
由y=ax3+bx2+5得y‘=3a/+2bx.
22b
令y>
0,得3ax+2bx>
0,--—3avxv0.
(2b
•••当x€[—3a,0时,函数为增函数.
令y‘v0,即3ax2+2bxv0,
二在厂x,—3a/(0,+x)上时,函数为减函数.
18.(2010新课标全国文,21)设函数f(x)=x(ex—1)—ax2.
(1)若a=$求f(x)的单调区间;
⑵若当x>
0时f(x)>
0,求a的取值范围.
11
[解析]
(1)a=2时,f(x)=x(g—1)—2x2,
f‘(x)=1+x$—x=1)(x+1).
当x€(——1)时f(x)>
0;
当x€(-1,0)时f(x)<
当x€(0,
+x)时,f(x)>
故f(x)在1],[0,+乂)上单调递增,在[—1,0]上单调递减.
(2)f(x)=x(ex—1—ax).
令g(x)=ex—1—ax,贝Sg‘(x)=ex—a.
若a<
1,则当x€(0,+乂)时,g'
0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x>
0时g(x)>
0,即f(x)>
当a>
1,则当x€(0,lna)时,g'
0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x€(0,lna)时g(x)<
0,即f(x)<
综合得a的取值范围为(―=,1].