解析北京市海淀区北师特学校届高三第四次月考理科数学Word格式.docx
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【解析】由可知数列是等差数列，且以为首项，公差，所以数列的通项公式为，所以，即。
选D.
6、已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形，所以，所以点，代入双曲线方程，当时，，得，所以由，的，即，所以，解得离心率，选D.
7、△外接圆的半径为，圆心为，且，，则等于
（A）（B）（C）（D）
【解析】由得，所以，即时的中点，所以为外接圆的直径,。
则，因为，所以为正三角形，所以，且，所以，选C.
8、定义在R上的函数，则的图像与直线的交点为、、且，则下列说法错误的是（）
【解析】由，得，解得或，当时。
又，所以，所以，所以D错误，选D.
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9、已知点在不等式组表示的平面区域内，则点到直线距离的最大值为____________．
【答案】4
【解析】因为点可行域内，所以做出可行域，由图象可知当当点P位于直线时，即，此时点P到直线的距离最大为。
10、在△中，若，则．
【答案】
【解析】根据正弦定理可得，即，解得，因为，所以，所以，所以。
11、如图，是半径为的圆的直径，点在的延长线上，是圆的切线，点在直径上的射影是的中点，则=；
．
【解析】点A在直径BC上的射影E是OC的中点,可得，所以，在中，，所以由切割线定理可得。
12、已知若的最大值为8，则k=_____
【解析】做出的图象。
因为的最大值为8，所以此时，说明此时直线经过区域内截距做大的点，，即直线也经过点。
由，解得，即，代入直线得，。
13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是_____________（填，，）
【答案】
【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，甲乙都有5组数据，此时甲乙的平均数为，，所以。
14、对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则．
【解析】因为，所以，，即。
两边平方得，即，即，即，即数列的任意两项之和为，所以，即。
所以，解得或（舍去）。
三、解答题：
本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15、（本小题共13分）
已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的值域．
16、（本小题共13分）
如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：
（Ⅲ）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？
若存在，求出的长；
若不存在，请说明理由。
17、（本小题共13分）
数列{}中，，，且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求．
18、（本小题共13分）
已知函数（）.
（Ⅰ）求函数的单调区间;
（Ⅱ）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求的取值范围。
19、（本小题共14分）
已知椭圆C：
，左焦点，且离心率
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A.求证：
直线过定点,并求出定点的坐标.
20、（本小题共14分）
在单调递增数列中，，不等式对任意都成立.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）判断数列能否为等比数列？
说明理由；
（Ⅲ）设，，
求证：
对任意的，.
参考答案：
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
C
二、填空题（每题5分，共30分）
9、___4_________；
10、_______；
11、___；
12、_______；
13、______________；
14、__________；
三、解答题
15、（共13分）
解：
（Ⅰ）因为，且，
所以，．
因为
所以．……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
所以
，．
因为，所以，当时，取最大值；
当时，取最小值．
所以函数的值域为．……………………13分
16、（Ⅰ）,点E为的中点,连接。
的中位线//……2分
又
……4分
（II）正方形中,
由已知可得：
，…….6分
…….7分
…….8分
（Ⅲ）由题意可得：
以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
………9分
设
……10分
设平面的法向量为
则
得……11分
取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为……12分
要使二面角的大小为
而
解得：
当=时，二面角的大小为13分
17、解：
（1）∴
∴为常数列，∴{an}是以为首项的等差数列，
设，,∴，∴．
（2）∵，令，得．
当时，；
当时，．
∴当时，
，．
∴
18解：
（I）……2分
当即
f（x）的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（,………4分
当，即
f（x）的单调递增区间为（,,单调递减区间为（0，）……6分
（II）得……8分
+3……9分
………10分
……11分
……12分即：
……13分
19解：
（Ⅰ）由题意可知：
……1分
解得………2分
所以椭圆的方程为：
……3分
（II）证明：
由方程组…4分
整理得………..5分
则…….6分
由已知，且椭圆的右顶点为………7分
………8分
即
也即……10分
整理得：
解得均满足……12分
当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分
当时，直线的方程为,过定点
故直线过定点，且定点的坐标为…….14分
20、（共14分）
（Ⅰ）解：
因为是单调递增数列，
所以，.
令，，，
所以.………………4分
（Ⅱ）证明：
数列不能为等比数列.
用反证法证明：
假设数列是公比为的等比数列，，.
因为单调递增，所以.
因为，都成立.
所以，①
因为，所以，使得当时，.
因为.
所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立.………9分
（Ⅲ）证明：
观察：
，，，…，猜想：
.
用数学归纳法证明：
（1）当时，成立；
（2）假设当时，成立；
当时，
所以.
根据
（1）
（2）可知，对任意，都有，即.
由已知得，.
所以当时，.
因为.
所以对任意，.
对任意，存在，使得，
因为数列{}单调递增，
因为，
所以.………………14分
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