解析北京市海淀区北师特学校届高三第四次月考理科数学.docx
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解析北京市海淀区北师特学校届高三第四次月考理科数学
北师特学校2012—2013年度第一学期第四次月考
理科数学试题
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1、已知集合,,则=()
A、B、C、D、
【答案】D
【解析】,,所以,选D.
2、已知复数,则的虚部为()
A、1B、C、D、
【答案】A
【解析】由得,设,则,所以,解得,所以虚部为1,选A.
3、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为,等腰三角形的腰长为,则该几何体的体积是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由三视图可知,该几何体上部分是一个圆锥,下部分是个半球,球半径为1,圆锥的高为,所以圆锥的体积为,半球的体积为,所以几何体的总体积为,选A.
4、方程的曲线是()
A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线
【答案】C
【解析】由得,即,为两条直线,选C.
5、已知正项数列中,,,,则等于
(A)16(B)8(C)(D)4
【答案】D
【解析】由可知数列是等差数列,且以为首项,公差,所以数列的通项公式为,所以,即。
选D.
6、已知双曲线,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点,为坐标原点.若,则双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形,所以,所以点,代入双曲线方程,当时,,得,所以由,的,即,所以,解得离心率,选D.
7、△外接圆的半径为,圆心为,且,,则等于
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】由得,所以,即时的中点,所以为外接圆的直径,。
则,因为,所以为正三角形,所以,且,所以,选C.
8、定义在R上的函数,则的图像与直线的交点为、、且,则下列说法错误的是()
A、B、C、D、
【答案】D
【解析】由,得,解得或,当时。
又,所以,所以,所以D错误,选D.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分。
9、已知点在不等式组表示的平面区域内,则点到直线距离的最大值为____________.
【答案】4
【解析】因为点可行域内,所以做出可行域,由图象可知当当点P位于直线时,即,此时点P到直线的距离最大为。
10、在△中,若,则.
【答案】
【解析】根据正弦定理可得,即,解得,因为,所以,所以,所以。
11、如图,是半径为的圆的直径,点在的延长线上,是圆的切线,点在直径上的射影是的中点,则=;.
【答案】
【解析】点A在直径BC上的射影E是OC的中点,可得,所以,在中,,所以由切割线定理可得。
12、已知若的最大值为8,则k=_____
【答案】
【解析】做出的图象。
因为的最大值为8,所以此时,说明此时直线经过区域内截距做大的点,,即直线也经过点。
由,解得,即,代入直线得,。
13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0~9中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为,则的大小关系是_____________(填,,)
.
【答案】
【解析】去掉一个最高分和一个最低分后,甲乙都有5组数据,此时甲乙的平均数为,,所以。
14、对任意,函数满足,设,数列的前15项的和为,则.
【答案】
【解析】因为,所以,,即。
两边平方得,即,即,即,即数列的任意两项之和为,所以,即。
所以,解得或(舍去)。
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
15、(本小题共13分)
已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的值域.
16、(本小题共13分)
如图所示,正方形与矩形所在平面互相垂直,,点E为的中点。
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)在线段AB上是否存在点,使二面角的大小为?
若存在,求出的长;若不存在,请说明理由。
17、(本小题共13分)
数列{}中,,,且满足
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求.
18、(本小题共13分)
已知函数().
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)函数的图像在处的切线的斜率为若函数,在区间(1,3)上不是单调函数,求的取值范围。
19、(本小题共14分)
已知椭圆C:
,左焦点,且离心率
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点(不是左、右顶点),且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A.求证:
直线过定点,并求出定点的坐标.
20、(本小题共14分)
在单调递增数列中,,不等式对任意都成立.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)判断数列能否为等比数列?
说明理由;
(Ⅲ)设,,
求证:
对任意的,.
参考答案:
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
A
C
D
D
C
D
二、填空题(每题5分,共30分)
9、___4_________;10、_______;11、___;12、_______;13、______________;14、__________;
三、解答题
15、(共13分)
解:
(Ⅰ)因为,且,
所以,.
因为
.
所以.……………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得.
所以
,.
因为,所以,当时,取最大值;
当时,取最小值.
所以函数的值域为.……………………13分
16、(Ⅰ),点E为的中点,连接。
的中位线//……2分
又
……4分
(II)正方形中,
由已知可得:
,…….6分
…….7分
…….8分
(Ⅲ)由题意可得:
以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
………9分
设
……10分
设平面的法向量为
则
得……11分
取是平面的一个法向量,而平面的一个法向量为……12分
要使二面角的大小为
而
解得:
当=时,二面角的大小为13分
17、解:
(1)∴
∴为常数列,∴{an}是以为首项的等差数列,
设,,∴,∴.
(2)∵,令,得.
当时,;当时,;当时,.
∴当时,
,.
当时,.
∴
18解:
(I)……2分
当即
f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,………4分
当,即
f(x)的单调递增区间为(,,单调递减区间为(0,)……6分
(II)得……8分
+3……9分
………10分
……11分
……12分即:
……13分
19解:
(Ⅰ)由题意可知:
……1分
解得………2分
所以椭圆的方程为:
……3分
(II)证明:
由方程组…4分
整理得………..5分
设
则…….6分
由已知,且椭圆的右顶点为………7分
………8分
即
也即……10分
整理得:
……11分
解得均满足……12分
当时,直线的方程为,过定点(2,0)与题意矛盾舍去……13分
当时,直线的方程为,过定点
故直线过定点,且定点的坐标为…….14分
20、(共14分)
(Ⅰ)解:
因为是单调递增数列,
所以,.
令,,,
所以.………………4分
(Ⅱ)证明:
数列不能为等比数列.
用反证法证明:
假设数列是公比为的等比数列,,.
因为单调递增,所以.
因为,都成立.
所以,①
因为,所以,使得当时,.
因为.
所以,当时,,与①矛盾,故假设不成立.………9分
(Ⅲ)证明:
观察:
,,,…,猜想:
.
用数学归纳法证明:
(1)当时,成立;
(2)假设当时,成立;
当时,
所以.
根据
(1)
(2)可知,对任意,都有,即.
由已知得,.
所以.
所以当时,.
因为.
所以对任意,.
对任意,存在,使得,
因为数列{}单调递增,
所以,.
因为,
所以.………………14分