最新立体几何中的轨迹问题总结+讲义+练习Word文档格式.docx

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E

F

G

P

O

M

N

S

代数方法：

分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．

轨迹问题

【例1】如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的是（）

A．B．C．D．

解析：

如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB

∴EG⊥AC

∴AC⊥平面EFG，

∵P∈FG，E∈平面EFG，

∴AC⊥PE．

另解：

本题可用排除法快速求解．B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PEAC；

C中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF成角，显然不满足PEAC；

D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角为锐角，显然也不满足PEAC．

评析：

动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．

【例2】

（1）如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BDD1．

（2）正方体ABCD—A1B1C1D1中，P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是线段B1C．

（3）正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1，BC上的动点，且A1E=BF，P为EF的中点，则点P的轨迹是线段MN（M、N分别为前右两面的中心）．

（4）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是．

D1

C1

B1

A1

H

（1）

（2）（3）（4）

若将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点A距离为的点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．

【例3】

（1）（04北京）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（D）

A．A直线B．圆C．双曲线D．抛物线

l

α

变式：

若将“P到直线BC与直线C1D1的距离相等”改为“P到直线BC与直线C1D1的距离之比为1：

2（或2：

1）”，则动点P的轨迹所在的曲线是椭圆（双曲线）．

（2）（06北京）平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（A）

A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支

解：

设l与l'

是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面α的交线上，故选A．

（3）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，M在棱AB上，且AM=，点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹为抛物线．

3

2

（4）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3，长为2的线段MN点一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为．

【例4】（04重庆）若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是：

（D）

ABCD

【例5】四棱锥P-ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）

A．圆B．不完整的圆C．抛物线D．抛物线的一部分

分析：

∵AD⊥面PAB，BC⊥平面PAB

∴AD∥BC且AD⊥PA，CB⊥PB

∵∠APD=∠CPB

∴tanAPD=tanCPB

∴=

∴PB=2PA

在平面APB内，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（-3，0）、B（3，0），设P（x，y）（y≠0），则（x-3）2+y2=4[（x+3）2+y2]（y≠0）

即（x+5）2+y2=16（y≠0）

∴P的轨迹是（B）

立体几何中的轨迹问题（教师版）

1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（D）．

A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分

简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B1C1面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：

动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D．

2．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：

1，则动点P所在曲线的形状为（B）．

3．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：

2，则动点P所在曲线的形状为（C）．

4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）．

A．圆或圆的一部分B．抛物线或其一部分C．双曲线或其一部分D．椭圆或其一部分

简析由条件易知：

AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分．

5．已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）．

A．抛物线B．双曲线C．直线D．圆

简析在正方体中，过P作PFAD，过F作FEA1D1，垂足分别为F、E，连结PE．则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线．

6．在正方体中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有APBD1，则动点P的轨迹为__________．

简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD1面ACB1，所以满足BD1AP的所有点P都在一个平面ACB1上．而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C．本题的解题基本思路是：

利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．

7．在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，总有PEAC，则动点P的轨迹为_______________．

答案线段MN（M、N分别为SC、CD的中点）

8．若A、B为平面的两个定点，点P在外，PB，动点C（不同于A、B）在内，且PCAC，则动点C在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆）

9．若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是：

（D）

简析动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在的内角平分线上．现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在的内角平分线与AB之间的区域内．只能选D．

10．已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（B）．

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利

用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．

11．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．

简析以B为圆心，半径为且圆心角为的圆弧，长度为．

12．已知长方体中，，在线段BD、上各有一点P、Q，PQ上有一点M，且，则M点轨迹图形的面积是．

提示轨迹的图形是一个平行四边形．

13．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN的一个端点在上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．

简析由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P的几何性质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的，即．

14．已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是（）

A．一个圆B．两条平行直线C．四个点D．两个点

简析：

如图，设点P在平面内的射影是O，则OP是、的公垂线，OP=4．在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O