届中考数学专题提升十五巧用旋转进行证明与计算Word格式.docx

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C．3个D．4个

2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°

到BP′，已知∠AP′B＝135°

，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝（　B　）

A．1∶B．1∶2

C.∶2D．1∶

图Z15－3　　中考变形2答图

【解析】如答图，连结AP，PP′，∵BP绕点B顺时针旋转90°

到BP′，

∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°

.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝90°

，∴∠ABP＝∠CBP′.在△ABP和△CBP′中，

∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP＝P′C.∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP＝3P′A.

∵△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°

，PP′＝PB.∵∠AP′B＝135°

，∴∠AP′P＝135°

－45°

＝90°

，∴△APP′是直角三角形．设P′A＝x，则AP＝3x，根据勾股定理，得PP′＝＝＝2x，∴P′B＝PB＝2x，∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2.

3．[2019·

徐州]如图Z15－4，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°

，得到线段AD，连结DC，DB.

（1）线段DC＝__4__；

（2）求线段DB的长度．

图Z15－4中考变形3答图

（1）∵AC＝AD，∠CAD＝60°

，

∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4；

（2）如答图，作DE⊥BC于点E.

∵△ACD是等边三角形，

∴∠ACD＝60°

，又∵AC⊥BC，

∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°

－60°

＝30°

在Rt△CDE中，DE＝DC＝2，CE＝DC·

cos30°

＝4×

＝2，

∴BE＝BC－CE＝3－2＝.

在Rt△BDE中，BD＝＝＝.

4．如图Z15－5①，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连结BD，CD.

（1）判断BD与AC的位置关系和数量关系，并给出证明；

（2）如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？

为什么？

（3）如图③，将

（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．

图Z15－5

（1）BD与AC的位置关系是BD⊥AC，数量关系是BD＝AC.证明：

如答图①，延长BD交AC于点F.

∵AE⊥BC于点E，

∴∠BED＝∠AEC＝90°

.

∵AE＝BE，DE＝CE，

∴△DBE≌△CAE（SAS），

∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∠BDE＝∠ACE.

∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ACE.

∵∠ACE＋∠CAE＝90°

，∴∠ADF＋∠CAE＝90°

，∴BD⊥AC；

（2）否．证明：

如答图②，AC与BD交于点F，

∵∠AEB＝∠DEC＝90°

∴∠AEB＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，

即∠BED＝∠AEC.

∴△BED≌△AEC（SAS），

∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∠DBE＝∠CAE.

∵∠BFC＝∠ACD＋∠CDE＋∠BDE＝∠ACD＋∠CDE＋∠ACE＝90°

（3）如答图③，AC与BD交于点F.

∵△ABE和△DEC是等边三角形，

∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°

∠BEA＝∠DEC＝60°

∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED，

∴∠BED＝∠AEC，

在△BED和△AEC中，

∴△BED≌△AEC（SAS），∴∠BDE＝∠ACE，

∴∠DFC＝180°

－（∠BDE＋∠EDC＋∠DCF）＝60°

∴BD与AC的夹角度数为60°

或120°

5．阅读下面的材料：

小伟遇到这样一个问题：

如图Z15－6①，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：

如图②，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连结PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

（1）请你回答：

图①中∠APB＝__150°

__；

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

（2）如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2，PB＝1，PD＝，求∠APB的度数和正方形的边长．

图Z15－6

（1）如答图①，把△APB绕点A逆时针旋转60°

得△AP′C，

由旋转的性质，得P′A＝PA＝3，P′C＝PB＝4，∠PAP′＝60°

∴△APP′是等边三角形，

∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°

∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25，PC2＝52＝25，

∴PP′2＋P′C2＝PC2，∴∠PP′C＝90°

∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°

＋90°

＝150°

∴∠APB＝∠AP′C＝150°

；

（2）如答图②，把△APB绕点A逆时针旋转90°

得到△AP′D，

由旋转的性质，得P′A＝PA＝2，P′D＝PB＝1，

∠PAP′＝90°

∴△APP′是等腰直角三角形，

∴PP′＝PA＝×

2＝4，

∠AP′P＝45°

∵PP′2＋P′D2＝42＋12＝17，PD2＝（）2＝17，

∴PP′2＋P′D2＝PD2，∴∠PP′D＝90°

∴∠AP′D＝∠AP′P＋∠PP′D＝45°

＝135°

∴∠APB＝∠AP′D＝135°

∵∠APB＋∠APP′＝135°

＋45°

＝180°

∴P′，P，B三点共线．

过点A作AE⊥PP′于点E，则AE＝PE＝PP′＝2，

∴BE＝PE＋PB＝2＋1＝3，

在Rt△ABE中，AB＝＝＝.

【中考预测】

（1）如图Z15－7①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高线AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；

（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°

，AB＝AD，M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°

，将△ABM绕点A逆时针旋转90°

至△ADH位置，连结NH，试判断MN2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由；

（3）在图①中，若EG＝4，GF＝6，求正方形ABCD的边长．

图Z15－7

（1）在正方形ABCD中，∠B＝∠D＝90°

∵AG⊥EF，∴△ABE和△AGE是直角三角形．

在Rt△ABE和Rt△AGE中，

∴△ABE≌△AGE（HL），∴∠BAE＝∠GAE.

同理，∠GAF＝∠DAF.

∴∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝∠BAD＝45°

（2）MN2＝ND2＋DH2.

由旋转可知，∠BAM＝∠DAH，

∵∠BAM＋∠DAN＝45°

∴∠HAN＝∠DAH＋∠DAN＝45°

∴∠HAN＝∠MAN.

在△AMN与△AHN中，

∴△AMN≌△AHN（SAS），∴MN＝HN.

∵∠BAD＝90°

，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝45°

∴∠HDN＝∠HDA＋∠ADB＝90°

∴NH2＝ND2＋DH2，∴MN2＝ND2＋DH2；

（3）由

（1）知，BE＝EG＝4，DF＝FG＝6.

设正方形ABCD的边长为x，则CE＝x－4，CF＝x－6.

∵CE2＋CF2＝EF2，∴（x－4）2＋（x－6）2＝102，

解得x1＝12，x2＝－2（不合题意，舍去）．

∴正方形ABCD的边长为12.

2019-2020学年数学中考模拟试卷

一、选择题

1．﹣3的绝对值是（　　）

A．﹣3B．3C．-D．

2．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知，满足不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围是（　　）

A.﹣1＜x＜5B.x＞5C.x＜﹣1且x＞5D.x＜﹣1或x＞5

3．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°

到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'

C'

长度是（　　）

A．3mB．mC．mD．4m

4．如图，正△AOB的边长为5，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交边AO，AB于点C，D，若OC＝2BD，则实数k的值为（　　）

A．4B．C．D．8

5．如图，射线与相切于点，若，则的值为（）

A．B．C．D．

6．如图，点分别在的边上，下列条件：

①；

②；

③其中能使与相似的是（）

A．①②B．②C．①③D．②③

7．下列计算中，正确的是（　　）

A．（﹣2a﹣5）（2a﹣5）＝25﹣4a2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2

C．（x+3）（x﹣2）＝x2﹣6D．﹣a（2a2﹣1）＝﹣2a3﹣a

8．如图，为的切线，切点为A，BO交于点C，点D在上，若，则的度数为（）

A.B.C.D.

9．二元一次方程组的解为（）

10．下列命题中正确的是（　　）

A．平行四边形的对角线相等

B．对顶角相等

C．两条腰对应相等的两个等腰三角形全等

D．同旁内角相等，两直线平行

11．下列运算中，不正确的是（　　）

A．（x+1）2＝x2+2x+1B．（x2）3＝x5

C．2x4⋅3x2＝6x6D．x2÷

x﹣1＝x3（x≠0）

12．介于两个相邻整数之间，这两个整数是（）

A．2和3B．3和4C．4和5D．5和6

二、填空题

13．如图，圆弧形拱桥的跨径米，拱高米，则拱桥的半径为__________米.

14．分解因式（a－b）（a－9b）＋4ab的结果是____．

15．如图，AB∥CD，且∠A=25°

，∠C=45°

，则∠E的度数是_____．

16．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝_____．

17．分解因式：

a3－25a＝_____________

18．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°

，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB'

位置，使得CC′∥AB，则∠BAB'

＝_____．

三、解答题

19．2019年4月23日是“第二十四个世界读书日”，我市某中学发起了“读好书”活动．为了解九年级学生阅读“艺术类、科普类、文学类、军事类“这四类书籍的情况，数学老师随机抽查了该年级学生课外阅读的数量，绘制了下面不完整的条形图和扇形图．

（1）求本次抽查中阅读科普类书籍的人数，并补充完整条形图；

（2）小明要从这四类书籍中任选两类来阅读，请你用列表法或树状图求小明刚好选择科普类和军事类书籍的概率．

20．