量子力学复习资料题大题Word文档格式.docx

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最后，对

作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；

同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

1．3氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。

解根据

，

知本题的氦原子的动能为

显然远远小于这样，便有

这里，利用了

最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相应的德布罗意波长就为

据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。

p.52

2.1.证明在定态中，几率流密度与时间无关。

证：

对于定态，可令

可见无关。

2.2由下列两定态波函数计算几率流密度：

从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内（即向原点）传播的球面波。

解：

在球坐标中

同向。

表示向外传播的球面波。

可见，反向。

表示向内（即向原点）传播的球面波。

补充：

设，粒子的位置几率分布如何？

这个波函数能否归一化？

∴波函数不能按方式归一化。

其相对位置几率分布函数为

表示粒子在空间各处出现的几率相同。

#

3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数

描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。

由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。

粒子能量的本征函数和本征值为

能量的几率分布函数为

先把归一化，由归一化条件，

∴

∴

3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为

求粒子的能级和定态波函数。

据题意，在的区域，，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数

（）

由于在的区域内，。

只求角动量为零的情况，即，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。

即粒子的几率分布与角度无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与有关，而与无关。

设为，则粒子的能量的本征方程为

令，得

其通解为

波函数的有限性条件知，有限，则

A=0

由波函数的连续性条件，有

∵∴

其中B为归一化，由归一化条件得

∴归一化的波函数

4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。

定态薛定谔方程为

即

两边乘以，得

令

跟课本P.39（2.7-4）式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为

式中为归一化因子，即

4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：

，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；

都是实数。

用微扰公式求能量至二级修正值。

由微扰公式得

得

∴能量的二级修正值为

5.7计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。

若，则#

7.1.证明：

证：

由对易关系及

反对易关系，得

上式两边乘，得

∵

∴

7.5设氢的状态是

①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；

②求总磁矩

的z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。

解：

可改写成

从ψ的表达式中可看出的可能值为0

相应的几率为

的可能值为

相应的几率为