立体几何证明题文科精编版Word格式.docx
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（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得
PA//平面BMQ．
4.已知四棱锥的底面是菱形．，为的中点．
∥平面；
平面平面．
5.已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.（I）求证：
（II）求证：
平面.
6.如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，.
（Ⅲ）求四面体的体积.
7.如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°
，E、F分别是AP、AD的中点
求证：
（1）直线EF//平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD.
8.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）证明：
PQ⊥平面DCQ；
（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．
9.如图，在△ABC中，∠ABC=45°
，∠BAC=90°
，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°
。
（1）证明：
平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；
（2
）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。
参考答案：
1.证明:
（I）因为为中点，所以又，
所以有
所以为平行四边形,
所以
又平面平面
所以平面.
（II）连接.
因为所以为
平行四边形，
又,所以为菱形，
所以，
因为正三角形,为中点，
又因为平面平面,平面平面，
所以平面，
而平面，所以，
又，所以平面.
又平面，所以.
2.（Ⅰ）证明：
因为点是菱形的对角线的交点，
所以是的中点.又点是棱的中点，
所以是的中位线，.
因为平面,平面，
所以平面.
（Ⅱ）证明：
由题意，,
因为,所以，.
又因为菱形，所以.
因为,
因为平面，
所以平面平面.
（Ⅲ）解：
三棱锥的体积等于三棱锥的体积.
由（Ⅱ）知，平面，
所以为三棱锥的高.
的面积为，
所求体积等于.
3.证明：
（Ⅰ）AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．
∵∠ADC=90°
∴∠AQB=90°
即QB⊥AD．
∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD．
∵PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PBQ．
（Ⅱ）当时，PA//平面BMQ．
连接AC，交BQ于N，连接MN．
∵BCDQ，
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
∵点M是线段PC的中点，
∴MN//PA．
∵MN平面BMQ，PA平面BMQ，
∴PA//平面BMQ．
4.（Ⅰ）证明：
因为，分别为，的中点，
所以∥．
因为平面
平面
所以∥平面．
连结
因为，
所以．
在菱形中，
因为
所以平面
所以平面平面．
5.（Ⅰ）由已知可得，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
又分别是的中点，
，
平面，平面，
平面∥平面.
（Ⅱ）三棱柱是直三棱柱，
面，又面，
.
又直三棱柱的所有棱长都相等，是边中点，
是正三角形，，
而，面，面，
面，
故.
四边形是菱形，，
而，故,
由面，面，
得面.
6.（Ⅰ）证明：
因为平面平面，，
所以.
因为是正方形，
所以，所以平面.
设，取中点，连结，
所以，.
因为，，所以，
从而四边形是平行四边形，.
因为平面,平面,
所以平面，即平面.
因为平面平面，,
因为,,，
所以的面积为，
所以四面体的体积.
7.解：
（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，
又
直线EF//平面PCD
（2）连接BD为正三角形
F是AD的中点，
又平面PAD⊥平面ABCD，
所以，平面BEF⊥平面PAD.
8.解：
（I）由条件知PDAQ为直角梯形
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD
所以PQ⊥平面DCQ.
（II）设AB=a.
由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积
由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，
所以棱锥P—DCQ的体积为
故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1
9.
（1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴
当Δ
ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，
又DBＤＣ＝Ｄ，
∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD平面BDC.
∴平面ABD⊥平面BDC．
（2）由
（1）知，DA,,,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=,
∴三棱锥D—ＡＢＣ的表面积是
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