北师大版高中数学必修一第二章第4节二次函数性质的再研究第1课时.docx

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北师大版高中数学必修一第二章第4节二次函数性质的再研究第1课时

4.1二次函数的图像

1．掌握二次函数解析式的三种形式，会利用待定系数法求解析式．

2．掌握二次函数的图像变换．

1．定义

（1）形如y＝________（a≠0）的函数叫作二次函数，其中a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）称为二次函数的一般式，二次函数的解析式还有其他两种形式：

顶点式：

y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）；

零点式：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．

（2）说明：

所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式．

【做一做1－1】二次函数f（x）的图像与x轴交于（－2,0），（4,0）两点，且顶点为

，求函数f（x）的解析式．

【做一做1－2】二次函数f（x）的图像经过点A（1,0），B（2,3），且对称轴为x＝3，求函数f（x）的解析式．

2．图像变换

（1）首先将二次函数的解析式整理成顶点式y＝a（x＋h）2＋k（a≠0），再由二次函数y＝x2的图像经过下列的变换得到：

①将函数y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的____倍，横坐标不变，得到函数y＝ax2的图像．

函数y＝f（x）的图像上各点的纵坐标变为原来的a（a≠0）倍，横坐标不变，得到函数y＝af（x）的图像．

②将函数y＝ax2的图像向左（h＞0）或向右（h＜0）平移|h|个单位得到______的图像．

将函数y＝f（x）的图像向左平移a（a＞0）个单位得函数y＝f（x＋a）的图像．将函数y＝f（x）的图像向右平移a（a＞0）个单位得函数y＝f（x－a）的图像．简称为“左加（＋）右减（－）”．

③将函数y＝a（x＋h）2的图像向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位得到________的图像．

将函数y＝f（x）的图像向上平移b（b＞0）个单位得函数y＝f（x）＋b的图像；将函数y＝f（x）的图像向下平移b（b＞0）个单位得函数y＝f（x）－b的图像．简称为“上加（＋）下减（－）”．

（2）一般地，二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0），____决定了二次函数图像的开口大小和方向；____决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；____决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

【做一做2】将函数y＝4x2＋2x＋1写成y＝a（x＋h）2＋k的形式，并说明它的图像是由y＝4x2的图像经过怎样的变换得到的？

答案：

1．

（1）ax2＋bx＋c　

【做一做1－1】解：

设函数解析式为f（x）＝a（x＋2）（x－4），

又∵函数图像过顶点

，

∴－

＝a（1＋2）（1－4），解得a＝

.

∴函数解析式为f（x）＝

（x＋2）（x－4），

即f（x）＝

x2－x－4.

【做一做1－2】解：

设所求函数解析式为f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

由已知得

解得

∴所求解析式为f（x）＝－x2＋6x－5.

2．

（1）①a　②y＝a（x＋h）2　③y＝a（x＋h）2＋k

（2）a　h　k

【做一做2】解：

y＝4

＋1－

＝4

2＋

.

要得到y＝4

2＋

的图像需将y＝4x2先向左平移

个单位长度，再向上平移

个单位长度．

怎样快速画二次函数图像的草图？

剖析：

下面举例说明．例如画出函数y＝3x2－6x－9的草图．

函数的解析式化为顶点式y＝3（x－1）2－12.可得顶点坐标（1，－12）；与x轴的交点是点（－1,0）和点（3,0）；对称轴是直线x＝1；抛物线的开口向上．

画法步骤：

（1）描点画线：

在平面直角坐标系中，描出点（1，－12），（－1,0），（3,0），画出直线x＝1；

（2）连线：

用光滑曲线连接点（1，－12），（－1,0），（3,0），在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝3x2－6x－9的草图，如图所示．

由此可见，画抛物线时，重点体现抛物线的特征：

“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征在坐标系中可快速画出抛物线的草图．

题型一求二次函数的解析式

【例1】已知二次函数f（x）满足f

（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值为8，试确定此二次函数的解析式．

反思：

求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．

（1）一般式：

y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）

已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解．

（2）顶点式：

y＝a（x－h）2＋k（a，h，k为常数，a≠0）

当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式．

（3）两根式：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a，x1，x2是常数，a≠0）

当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式．

题型二图像变换

【例2】函数f（x）＝x2的图像经过怎样的变换，得到函数g（x）＝4x2－2x－1的图像？

分析：

将函数g（x）＝4x2－2x－1的解析式化为顶点式．

反思：

所有二次函数的图像均可以由函数f（x）＝x2的图像经过变换得到．变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤．

题型三图像的应用

【例3】已知二次函数y＝2x2－4x－6.

（1）求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像．

（2）求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积．

（3）x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0?

分析：

（1）已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表描点可画出图像；

（2）函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y＝0、x＝0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积；

（3）观察图像可得到图像在x轴上方（即y＞0）时x的取值范围，y＝0与y＜0时亦可得．

反思：

根据配方法得到函数的性质，作图时，注意关键点的选取，如与x轴、y轴的交点，顶点和开口方向，对称轴及增减性等，使画图的操作更方便，图像更准确．

答案：

【例1】解法1：

利用二次函数一般式．

设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由题意得

解得

∴所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

解法2：

利用二次函数的两根式．

由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1），

即f（x）＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值8，∴

＝8.

解得a＝－4，或a＝0（舍）．

∴所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

解法3：

利用二次函数的顶点式．

设f（x）＝a（x－m）2＋n.∵f

（2）＝f（－1），

∴抛物线的对称轴为x＝

＝

，即m＝

.

又∵f（x）的最大值为8，∴n＝8.

∴f（x）＝a

2＋8.

∵f

（2）＝－1，

∴a

2＋8＝－1，解得a＝－4.

∴f（x）＝－4

2＋8＝－4x2＋4x＋7.

【例2】解：

g（x）＝4x2－2x－1＝4

2－

.

变换的步骤是：

（1）将函数f（x）＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变，得到函数f（x）＝4x2的图像；

（2）将函数f（x）＝4x2的图像向右平移

个单位，得到函数f（x）＝4

2的图像；

（3）将函数f（x）＝4

2的图像向下平移

个单位，得到f（x）＝4

2－

的图像，即得到函数g（x）＝4x2－2x－1的图像．

【例3】解：

（1）配方，得y＝2（x－1）2－8.

∵a＝2＞0，∴函数图像开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，－8）．

列表：

x

－1

0

1

2

3

y

0

－6

－8

－6

0

描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图像，如图所示．

（2）由图像得，函数图像与x轴的交点坐标为A（－1,0）、B（3,0），与y轴的交点坐标为C（0，－6）．

S△ABC＝

|AB|·|OC|＝

×4×6＝12.

（3）由函数图像知，当x＜－1或x＞3时，y＞0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1＜x＜3时，y＜0.

1下列关于二次函数y＝x2＋x＋1图像的开口方向和顶点的说法，正确的是（）．

A．开口向下，顶点（1,1）

B．开口向上，顶点（1,1）

C．开口向下，顶点

D．开口向上，顶点

2将函数y＝x2的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为（）．

A．y＝（x＋2）2＋1B．y＝（x－2）2＋1

C．y＝（x－2）2－1D．y＝（x＋2）2－1

3一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是（）．

4函数y＝4x2的图像各点的纵坐标变为原来的

倍，横坐标不变，所得图像的函数解析式为__________．

5已知二次函数f（x）的图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点（1,13）和（2,28），求二次函数f（x）的解析式．

答案：

1．D　2.C

3．C　选项A，y＝ax＋b中，a＞0而y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，矛盾；

选项B，y＝ax＋b中，a＞0，b＞0，从而y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴x＝

＜0，矛盾；

选项D，y＝ax＋b中，a＜0，b＜0，但y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，矛盾．

4．y＝x2

5．分析：

设出二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数f（x）的解析式．

解：

设f（x）＝a（x＋1）2＋k，

由题意得f

（1）＝13，f

（2）＝28，则有

解得a＝3，k＝1，即f（x）＝3（x＋1）2＋1.