解三角形中相关的取值范围问题Word文档下载推荐.docx

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（2）若，求周长的取值范围。

例4：

在中，，若的外接圆半径为，则的面积的最大值为

例5：

（2008，江苏）满足的的面积的最大值是

例6：

已知角是三个内角，是各角的对边，向量，，且

（1）求的值。

（2）求的最大值。

通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。

这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。

理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。

希望本文能对同学们复习备考有所帮助。

巩固练习

1．在中，，则的取值范围为

2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是

3．在中，，且所对的边满足，则实数的取值范围为

4．在锐角中，，，则的取值范围是

5．在锐角中，三个内角成等差数列，记，则的取值范围是

6．已知锐角三角形的边长分别为，则的取值范围是

7．已知外接圆的半径为，若面积且，则，的最大值为

8．在中，，且

（1）求证：

为直角三角形

（2）若外接圆的半径为，求的周长的取值范围

9．在中所对的边分别为，已知

（1）若，求实数的值

（2）若，求面积的最大值。

解析：

由

得，所以，又所以

点评：

①本题易错在求的范围上，容易忽视“是锐角三角形”这个条件。

②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法。

由题设知，又余弦定理知

所以，又所以即的取值范围是。

本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。

（1）由题意知，

由正弦定理得

所以，于是

（2）由正弦定理，所以

又由得，所以

。

对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。

又及余弦定理得，所以，

又由于，所以即

所以，又由于，故当且仅当时，的面积取最大值

先利用余弦定理求的大小，再利用面积公式结合基本不等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。

设，则，

根据面积公式得①

由余弦定理得

代入①式得

由三角形三边关系有，所以，

故当时，取得最大值。

本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。

由，，且得

，所以，

即，所以

（2）由余弦定理得，而

即有最小值，又，

所以有最大值（当且仅当时取等号）

所以的最大值为

参考答案

1．

2．

3．

4．同例1知，由正弦定理

5．易知，则

由于，所以，故

6.设所对的角分别为，由三角形三边关系有，故，易知，要保证为锐角三角形，只需，即，解得

7．由，得

由余弦定理得，故有，易得为锐角，且，即，故有，

则

（当且仅当时取等号）

即的最大值为

8．

（1）由，且

得，

由正弦定理得，

整理得

又由于，故，即是直角三角形

（或者：

由得，

化简得，由于，故，

即是直角三角形）

（2）设内角所对的边分别为

由于外接圆的半径为，，所以，

所以

又，故，因而

故

即的周长的取值范围为

9．

（1）由两边平方得

即，解得

由得

（2）由

（1）知，则，

又，所以，即，