中国地质大学北京《高等数学二》期末考试拓展学习七Word格式.docx
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幂级数收敛域为。
因此原级数在收敛,在一定发散。
有根据阿贝尔定理,原级数在也一定发散。
故应填。
5.已知,且对任意,,则在原点的幂级数展开式为。
根据幂级数的逐项积分性质,及,得
6.函数在处的幂级数展开式为。
已知,所以
。
根据函数的幂级数展开形式的惟一性,这就是所求。
7.设常数,正项级数收敛,则级数[]
(A)发散。
(B)条件收敛。
(C)绝对收敛。
(D)敛散性与的值有关。
答C
分析:
因为,且正项级数收敛,所以收敛。
又因为
所以原级数绝对收敛。
8.设,则级数[]
(A)与都收敛。
(B)与都发散。
(C)收敛,发散。
(D)发散,收敛。
因为,所以级数是满足莱布尼兹条件的交错级数,因此收敛。
因为在时与是等价无穷小量,且调和级数发散,所以发散。
9.设,则下列级数中肯定收敛的是[]
(A)。
(B)。
(C)。
(D)。
答D
因为,所以。
又因为,且收敛,所以收敛。
另外,取,可以说明不能选(A)及(C);
取,,因为发散,所以发散。
10.下列命题中正确的是[]
(A)若,则。
(B)若,且收敛,则收敛。
(C)若,且收敛,则收敛。
(D)若,且与收敛,则收敛。
又因为与收敛,所以收敛,因而收敛。
故收敛。
因为只有当级数收敛时,才能比较其和的大小,所以不能选(A);
选项(B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上,显然不对。
例如取级数与可以说明(B)不对,取级数与就可以说明(C)不对。
11.下列命题中正确的是[]
(A)若与都收敛,则收敛。
(B)若收敛,则与都收敛。
(C)若正项级数发散,则。
(D)若,且发散,则发散。
答A
因为,所以当与都收敛时,收敛。
取可以排除选项(B);
取排除选项(C);
取级数与可以说明(D)不对。
12.若级数,都发散,则[]
(A)发散。
(B)发散。
(C)发散。
(D)发散。
取可以排除选项(A),(B)及(D)。
因为级数,都发散,所以级数,都发散,因而发散。
故选(C)。
13.设正项级数收敛,则[]
(A)极限小于。
(B)极限小于等于。
(C)若极限存在,其值小于。
(D)若极限存在,其值小于等于。
根据比值判敛法,若极限存在,则当其值大于时,级数发散。
因此选项(D)正确。
取排除选项(C)。
因为正项级数收敛并不能保证极限存在,所以选项(A),(B)不对。
14.下列命题中正确的是[]
(A)若幂级数的收敛半径为,则。
(B)若极限不存在,则幂级数没有收敛半径。
(C)若幂级数的收敛域为,则幂级数的收敛域为。
(D)若幂级数的收敛域为,则幂级数的收敛域为。
极限只是收敛半径为的一个充分条件,因此选项(A)不对。
幂级数没有收敛半径存在而且惟一,所以选项(B)不对。
取级数可以排除选项(C)。
选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到。
15.若幂级数在处条件收敛,则级数[]
(A)条件收敛。
(B)绝对收敛。
(C)发散。
(D)敛散性不能确定。
答B
根据收敛半径的定义,是收敛区间的一个端点,所以原级数的收敛半径为。
因此幂级数在处绝对收敛,即级数绝对收敛。
16.设函数
而
其中,
则的值为[]
(B)。
(C)。
(D)。
是对函数作偶延拓得到的三角级数展开式,且延拓后得到的函数连续,根据狄里克莱收敛定理,。
17.求级数的和。
解:
所以
18.已知级数,求级数的和。
因为,所以。
又因为,
故
19.判断级数的敛散性。
因为,且
所以与在时是等价无穷小。
又因为级数收敛,所以,根据比阶判敛法知级数收敛。
另解:
已知收敛,所以由比较判敛法知级数收敛。
20.判断级数的敛散性。
记,则,且
所以根据比值判敛法,当时级数收敛,当时级数发散。
当时,因为,所以此时比值判敛法失效,但由于
,(因为数列单调递增趋于)
所以,因而当时,级数发散。
21.已知函数满足等式,且,试讨论级数
的收敛性。
由,得。
根据泰勒公式,得
所以在时与等价,且级数收敛,因此级数
绝对收敛。
注:
本题也可先解定解问题,得到后再用泰勒公式讨论。
22.求幂级数的收敛域。
所以,当,即时,级数绝对收敛;
当时,级数发散。
故幂级数的收敛区间为。
又当时,原级数的一般项分别是和,所以发散。
因此级数的收敛域为。
23.设为一等差数列,且,求级数的收敛域。
记的公差为,则
因此收敛半径为,又当时,级数成为,,所以发散,于是级数的收敛域为。
24.将函数展开为处的幂级数。
因为。
所以
。
25.将函数在点展开为幂级数。
,,
26.求级数的和。
由于。
对上式两边求导,得
所以,
此式两边再求导,得
在上式中令,有。
27.设级数收敛,且,证明级数绝对收敛。
证:
因为,所以数列有界,即存在,使得对任意的,有
于是,又级数收敛,由比较判敛法知收敛,故级数
28.已知且,若级数发散,证明级数收敛。
因为,所以极限存在,其值记为。
由于级数发散,根据莱布尼兹判敛法知。
所以存在,使得当时,有,故当时,。
根据比较判敛法知级数收敛。
29.设,证明对任意的常数,级数收敛。
令,得
由于当时,级数收敛,根据比较判敛法,级数收敛。
30.已知,证明
因为幂级数为,所以函数定义域是,函数定义域是。
令,则其定义域为。
根据幂级数的可导性及逐项求导公式,得
又
因此。
在上式两端令取极限,得
所以。