直线与平面平行高考真题教师版Word格式.docx

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7．（2017•江苏）如图，在三棱锥中，，，平面平面，点、与、不重合）分别在棱，上，且．求证：

8．（2016•山东）在如图所示的几何体中，是的中点，．

（Ⅰ）已知，，求证：

；

（Ⅱ）已知，分别是和的中点，求证：

平面．

9．（2014•四川）三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示，设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且．

（1）证明：

是线段的中点；

（2）求二面角的余弦值．

10．（2013•江苏）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点，分别是棱，的中点．求证：

（1）平面平面；

11．（2013•福建）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．

（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；

（Ⅱ）若为的中点，求证：

平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

12．（2013•山东）如图，四棱锥中，，，，，，，，，分别为、、、、的中点．

（Ⅰ）求证：

平面

（Ⅱ）求证：

平面平面．

13．（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形中，，分别是，边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，其中．

（2）证明：

（3）当时，求三棱锥的体积．

14．（2013•天津）如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，，，分别为棱，，的中点

（Ⅰ）证明平面；

（Ⅱ）证明平面平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

15．（2013•北京）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，．和分别是和的中点，求证：

（Ⅰ）底面；

（Ⅱ）平面；

（Ⅲ）平面平面．

16．（2012•辽宁）如图，直三棱柱，，，，点，分别为和的中点．

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

（锥体体积公式，其中为底面面积，为高）

17．（2012•山东）如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，．

（Ⅱ）若，为线段的中点，求证：

18．（2012•北京）如图1，在中，，，分别为，的中点，点为线段上的一点，将沿折起到△的位置，使，如图2．

（1）求证：

（2）求证：

（3）线段上是否存在点，使平面？

说明理由．

19．（2011•北京）如图，在四面体中，，，点，，，分别是棱，，，的中点．

四边形为矩形；

（Ⅲ）是否存在点，到四面体六条棱的中点的距离相等？

20．（2011•山东）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，．

（Ⅰ）若是线段的中点，求证：

（Ⅱ）若，求二面角的大小．

21．（2010•福建）如图，在长方体中，、分别是棱，上的点（点与不重合），且，过的平面与棱，相交，交点分别为，

（Ⅱ）设，在长方体内随机选取一点，记该点取自于几何体内的概率为，当点、分别在棱，上运动且满足时，求的最小值．

22．（2010•湖南）如图所示，在正方体中，是棱的中点．

（Ⅰ）求直线与平面所成的角的正弦值；

（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使平面？

证明你的结论．

23．（2010•安徽）如图，在多面体中，四边形是正方形，，，，，，为的中点．

（3）求二面角的大小．

参考答案与试题解析

【解答】解：

直线不平行于平面，且，

则与相交

与内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行

故，，错误

故选：

．

直线与是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：

取的中点，则，且，设与交于，则点、、、、共面，

直线必与直线相交于某点．

所以，过点有且只有一条直线与直线、都相交；

故①正确．

过点有且只有一条直线与直线、都垂直，此垂线就是棱，故②正确．

过点有无数个平面与直线、都相交，故③不正确．

过点有且只有一个平面与直线、都平行，此平面就是过点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．

综上，①②④正确，③不正确，

3．（2016•全国）在空间直角坐标系中，若直线与平面平行，则　1　．

直线的方向向量为，2，，

平面的法向量为，，，

，2，，，，

解得．

故答案为：

1．

平面方程与直线平行，

这个平行平面方程为：

，

平行平面方程经过点，1，和，0，，

解得，，

这个平行的平面方程为：

，即．

5．（2011•福建）如图，正方体中，，点为的中点，点在上，若平面，则线段的长度等于　　．

平面，平面，平面平面，

又点为的中点，点在上，

点是的中点，

故答案为．

【解答】证明：

（1）在直三棱柱中，，分别为，的中点，

，，，

平面，平面，

解：

（2）在直三棱柱中，是的中点，．

直三棱柱中，平面，平面，

又，平面，

平面，．

（1），，且、、、四点共面，

，又平面，平面，

（2）在线段上取点，连结、使得，则，

又平面平面，平面平面，平面，

平面，平面，，

，且，

，．

【解答】

如图所示，是的中点，，，

、都是等腰三角形，

，、、、四点共面，这样，

垂直于平面内的两条相交直线、，

显然，平面，．

（Ⅱ）已知，分别是和的中点，再取的中点，

则，又，故有，

而平面，平面．

同理，，而平面，平面．

，平面平面，平面．

（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：

平面平面，

设为的中点，连接，

于是，所以平面

因为，分别为线段，的中点，所以，，故

假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线

从而平面，这与矛盾，所以为线段的中点

（2）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，，，，0，，，，

于是，，

设平面和平面的法向量分别为和

由，则，设，则

所以二面角的余弦值

（1）中，且，为的中点．

、分别为、的中点，

、分别是、的中位线，可得且．

平面，同理可得平面

又、是平面内的相交直线，

平面平面；

（2）平面平面，平面平面，

又平面，．

，，平面．

（Ⅰ）在梯形中，作，为垂足，

则四边形为矩形，．

直角三角形中，，，

由勾股定理求得，．

在直角三角形中，，，

四棱锥的正视图如图所示：

（Ⅱ）为的中点，取得中点为，则平行且等于，

再由（Ⅰ）可得平行且等于，可得和平行且相等，

故为平行四边形，故．

由于不在平面内，而在平面内，故平面．

（Ⅲ）三棱锥的体积

四棱锥中，，，

，，，，分别为、、、、的中点，

取的中点，

则由，，而且，，

可得和平行且相等，

故四边形为平行四边形，故．

由于在平面内，而不在平面内，

故有平面．

（Ⅱ）证明：

由于，，而，

可得平面．

再由可得，平面．

由于是三角形的中位线，故有，故平面．

由于为三角形的中位线，可得，而在平面内，

而不在平面内，故有平面．

同理可得，平面．

而和是平面内的两条相交直线，故有平面平面．

平面，而在平面内，故有平面平面．

（1）在等边三角形中，，，在折叠后的三棱锥中也成立，

又平面，平面，

（2）在等边三角形中，是的中点，所以，即①，且．

在三棱锥中，，，②．

又，平面．

（3）由

（1）可知，结合

（2）可得平面．

三棱柱中，，，连接，

可得，，又为棱的中点．，，

所以是平行四边形，所以，

平面，平面，平面

是的中点，，

，又，

面，又面，

过作交于，

平面平面，且平面平面，

面，

则为所求的角，

设棱长为，可得，由△，得，

在直角中，，

直线与平面所成角的正弦值．

15．（20