江苏省南通市届高三数学模拟试题文档格式.docx
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右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形
的面积依次构成公差为0.1的等差数列，
又第一小组的频数是10，则▲．
5．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则方程组只有一个解的概率为▲．
6．如果，那么=▲．
7.已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程
为▲．
8．程序框图如下，若恰好经过6次循环输出结果，则a=▲．
输出T
9．将函数y＝sin（2x＋）的图象向左平移至少▲个单位，可得一个偶函数的图象．
10.已知直线平面，直线平面，给出下列命题：
1若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中正确命题的序号是▲．
1
…
2
3
4
5
6
7
9
11
10
13
16
17
21
26
11．某资料室在计算机使用中，产生如右表所示的编码，该编码以一定的规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的一个通项公式=▲．
12.在中，A（1，1），B（4，5），C（—1，1），
则与角A的平分线共线且方向相同的单位向量
13.已知函数f（x）满足f
（1）=，f（x）+f（y）=4f（）f（）（x,y∈R），则f（—2011）=
▲．
14.已知二次函数，若函数在上有两个不同的零点，则的最小值为▲．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知ABC的面积S满足，且=—8．
（Ⅰ）求角A的取值范围；
（Ⅱ）若函数，求的最大值．
16．（本题满分14分）
如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．
（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；
（Ⅱ）现发现BC边上距点C的处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？
请证明你的结论．
17．（本题满分15分）
如图，已知：
椭圆M的中心为O，长轴的两个端点为A、B，右焦点为F，AF=5BF．若椭圆M经过点C，C在AB上的射影为F，且△ABC的面积为5．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知圆O：
=1，直线=1，试证明：
当点P（m，n）在椭圆M上运动时，直线l与圆O恒相交；
并求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．
18．（本题满分15分）
各项均为正数的等比数列，a1=1，=16，单调增数列的前n项和为，，且（）．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）令（），求使得的所有n的值，并说明理由．
（Ⅲ）证明中任意三项不可能构成等差数列．
19．（本题满分16分）
由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量（单位：
吨）与上市时间（单位：
月）的关系大致如图
（1）所示的折线表示，销售价格（单位：
元／千克）与上市时间（单位：
月）的大致关系如图
（2）所示的抛物线段表示（为顶点）．
（Ⅰ）请分别写出,关于的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？
（Ⅱ）图
（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为，动点在内（包括边界），求的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ），将动点所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如类比为），试列出所满足的条件，并求出相应的最大值．
（图1）（图2）
20．（本题满分16分）
如果实数x，y，t满足|x—t|≤|y—t|，则称x比y接近t．
（Ⅰ）设a为实数，若a|a|比a更接近1，求a的取值范围；
（Ⅱ）f（x）=ln，证明：
比更接近0（k∈Z）．
数学附加题
（满分40分，考试时间30分钟）
21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1 几何证明选讲
已知中，,是外接圆劣弧上
的点（不与点重合），延长至.
求证：
的延长线平分.
B．选修4—2 矩阵与变换
已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
C．选修4—4 参数方程与极坐标
已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为，求直线的极坐标方程．
D．选修4—5 不等式证明选讲
设均为正数，证明：
.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.已知一口袋中共有4只白球和2只红球
（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；
（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．
23.在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足,过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为Ｍ．
（1）求：
的值；
（2）证明：
为定值．
参考答案
一、填空题
1.—1+2.3.真4.1005.6.07.
8.29.10.①③11.（n—1）2+112.13.14.
二、解答题
15.（Ⅰ）∵=—8，∴=—8，
∴=①
∵②
将①代入②得，由，得，
又，∴.
（Ⅱ）
=
==
==，
当，即时，取得最大值，
同时，取得最大值．
16.（Ⅰ）
由已知BO=,OD=在Rt△BOD中,BD=.
（Ⅱ）方案
（一）过E作EF//AC交AB于F,EG//CD,交BD于G,
平面EFG//平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分,此时.
方案
（二）过E作EP//BD交CD于P,EQ//AB,交AC于Q,同
（一）可证平面EPQ//平面ABD,原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分,此时,
为使截去部分体积最小,故选用方案
（二）.
17.（Ⅰ）由题意设椭圆方程为，半焦距为c，
由AF=5BF，且AF=a+c,BF=a—c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c.
（1）由题意CF⊥AB，设点C坐标（c，y），C在M上，代入得∴．由△ABC的面积为5，得，=5.
（2）
解
（1）
（2）得a=3，c=2.∴=9—4=5．∴所求椭圆M的方程为：
．
（Ⅱ）圆O到直线=1距离d=，由点P（m,n）在椭圆M上，则，显然，∴1，>
1,∴d=<
1，
而圆O的半径为1，直线l与圆O恒相交．
弦长t=2=2,由得，
∴,t=2,，∴，，∴，弦长t的取值范围是[]．
18．（Ⅰ）∵=，=4，∵，∴q=2， ∴
∴b3=＝8.∵+2 ①
当n≥2时，+2②
①-②得即
∵∴=3，∴是公差为3的等差数列．
当n＝1时，+2，解得=1或=2，
当=1时，，此时=7，与矛盾；
当时，此时此时=8=，∴．
（Ⅱ）∵，∴＝，∴=2>
1，=＞1，=2>
1,>
1，<
1，下面证明当n≥5时，
事实上，当n≥5时，＝＜0
即，∵<
1∴当n≥5时，，
故满足条件的所有n的值为1，2，3，4．
（Ⅲ）假设中存在三项p,q,r（p<
q<
r,p,q,R∈N*）使ap,aq,ar构成等差数列，
∴2aq=ap+ar，即22q—1=2p—1+2r—1．∴2q—p+1=1+2r—p．
因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．
∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．
19.解（Ⅰ）
．
（
在恒成立，所以函数在上递增
当t=6时，=34.5．∴6月份销售额最大为34500元．
（Ⅱ），z=x—5y．
令x—5y=A（x+y）+B（x—y），则，
∴z=x—5y=—2（x+y）+3（x—y）．由,，
∴,则（z）max=11．
（Ⅲ）类比到乘法有已知,求的最大值．由=（）A·
（）B
．∴,
∴，则（z）max=．
20.（Ⅰ）|a|a|—1|≤|a—1|
（1）当0<
a<
1时,|a2—1|≤|a—1|
1-a2≤1—a，得a≥1或a≤0（舍去）
（2）当a≥1时，a2—1≤a—1,得a=1；
（3）当a≤0时，a2+1≤1—a，—1≤a≤0．
综上，a的取值范围是{a|—1a0或a=1}
（Ⅱ）∵++…+=，
∴=．
令n（n+1）=t，∴t∈，且t∈Z，则
F（t）==．
∴F（x）在单调递减∴F（t）≤f（6）<
F
（2）=—ln1—0=0．
∴,即≤0．
∴比更接近0．
附加题参考答案及评分标准
解（Ⅰ）设为延长线上一点
∵四点共圆，
∴3分
又∴,5分
且,∴,7分
对顶角,故,
即的延长线平分.10分
解：
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝可得，＝，
即；
3分
由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2＝，可得＝5，
即，6分
解得即A＝，7分
A的逆矩阵是10分
解由题设知,圆心2分
∠CPO=60°
故过P点的切线的倾斜角为30°
4分
设是过P点的圆C的切线上的任一点，
则在△PMO中，∠MOP=
由正弦定理得8分
，即为所求切线的极坐标方程.10分
证明：
3分
9分
即得.10分
另证利用柯西不等式
取代入即证.
22.解：
（1）X的可能取值为4、5、6.
P（X=4）=
P（X=5）=
P（X=6）=
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