高三第二次统一考试数学理试题 含答案Word格式文档下载.docx
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A．B．C．D．
7．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是
8．已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且∥平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是
A．B．C．D．
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9．双曲线的渐近线方程是；
若抛物线的焦点与
双曲线的一个焦点重合，则．
10．如图，为⊙外一点，是⊙的切线，为切点，割线
与⊙相交于两点，且，为线段的中点，
的延长线交⊙于点．若，则的长为______；
的值是．
11．已知等边的边长为3，是边上一点，若，则
的值是______．
12．已知关于的不等式组所表示的平面区域为三角形区域，则实数的取值范围是．
13．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元.每年销售蔬菜的收入为26万元.设表示前年的纯利润（=前年的总收入－前年的总费用支出－投资额），则（用表示）；
从第年开始盈利.
14．在平面直角坐标系中，以点，曲线上的动点，第一象限内的点，构成等腰直角三角形,且，则线段长的最大值是．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
在中，角，，的对边分别是，，，已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若角为锐角，求的值及的面积．
16．（本小题满分13分）
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为，五个级别规定如下：
交通指数
级别
畅通
基本畅通
轻度拥堵
中度拥堵
严重拥堵
某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的40个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）的交通指数（平均值），其统计结果如直方图所示．
（Ⅰ）据此估计此人260个工作日中早高峰
时段（早晨7点至9点）中度拥堵的
天数；
（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似为：
畅通时30分钟，基本畅通时35分钟，
轻度拥堵时40分钟，中度拥堵时50
分钟，严重拥堵时70分钟，以直方图
中各种路况的频率作为每天遇到此种
路况的概率，求此人上班路上所用时间的数学期望．
17．（本小题满分14分）
如图1，在等腰梯形中，，，，为中点，点分别为的中点．将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱上是否存在点，使得平面?
若存在，求出的值；
若不
存在，请说明理由．
18．（本小题满分13分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若曲线上的点都在不等式组所表示的
平面区域内，试求的取值范围．
19．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；
（Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：
点
三点共线．
20．（本小题满分13分）
已知集合，且．若存在非空集合，使得，且，并，都有，则称集合具有性质，（）称为集合的子集．
（Ⅰ）当时，试说明集合具有性质，并写出相应的子集；
（Ⅱ）若集合具有性质，集合是集合的一个子集，设，
求证：
，，都有；
（Ⅲ）求证：
对任意正整数，集合具有性质．
北京市朝阳区xx学年度第二学期高三年级统一考试
数学答案（理工类）xx．5
（满分40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
D
（满分30分）
9
10
11
12
13
14
，
，16
（注：
两空的填空，第一空3分，第二空2分）
（满分80分）
解：
（Ⅰ）因为，且，
所以．
因为，
由正弦定理，得．…………………6分
（Ⅱ）由得．
由余弦定理，得．
解得或（舍负）．
所以．…………………13分
解:
（Ⅰ）由已知可得：
上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，
据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为
260×
0.25=65天.……………………………………………………5分
（Ⅱ）由题意可知的可能取值为．
且；
；
所以．
…………………………………13分
（Ⅰ）如图1，在等腰梯形中，
由，，，为中点，
所以为等边三角形．如图2,
因为为的中点，所以．
又因为平面平面，
且平面平面，
所以平面，所以．………4分
（Ⅱ）连结，由已知得，又为的中点，
图2
由（Ⅰ）知平面，
所以，
所以两两垂直．
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，易知．
设平面的一个法向量为，
由得即
取，得．
设直线与平面所成角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．…………………9分
（Ⅲ）假设在侧棱上存在点，使得平面．
设，．
易证四边形为菱形，且，
又由（Ⅰ）可知，，所以平面．
所以为平面的一个法向量．
由，得．
所以侧棱上存在点，使得平面，且．…………14分
18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）当时,，．
．
则，而．
所以曲线在点（1,）处的切线方程为，即．
…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）依题意当时，曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，等价于当时，恒成立．
设，．
（1）当，即时，当时，，为单调减函数，
所以．依题意应有
解得所以．
（2）若，即时，当，，为单调增函
数，
当，，为单调减函数．
由于，所以不合题意．
（3）当，即时，注意到，显然不合题意．
综上所述，．…………………………………………13分
（Ⅰ）依题意可知，，
所以椭圆离心率为．……………3分
（Ⅱ）因为直线与轴，轴分别相交于两点，所以．
令，由得，则．
所以的面积．
因为点在椭圆上，所以．
所以．即，则．
所以．
当且仅当，即时，面积的最小值为．…9分
（Ⅲ）①当时，．
当直线时，易得，此时，．
因为，所以三点共线．
同理，当直线时，三点共线．
②当时，设点，因为点与点关于直线对称，
所以整理得
解得
所以点．
又因为，，且
所以．所以点三点共线．
综上所述，点三点共线．…………………………………14分
证明：
（Ⅰ）当时，，令，,
则,且对，都有，
所以具有性质．相应的子集为，．…………3分
（Ⅱ）①若,由已知,
又,所以．所以．
②若,可设，,且，
此时．
所以，且．所以．
③若,,，
则,
又因为，所以．所以．
综上，对于，，都有．……………8分
（Ⅲ）用数学归纳法证明．
（1）由（Ⅰ）可知当时，命题成立，即集合具有性质．
（2）假设（）时，命题成立．即，
且，，都有．
那么当时，记,，
并构造如下个集合：
,,，
，
显然．
又因为，所以．
下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素．
①若两个元素,,
②若两个元素都属于,
由（Ⅱ）可知，中任意两个元素之差不等于中的任一数．
从而，时命题成立．
综上所述，对任意正整数，集合具有性质．………………………13分3837295E4闤<
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