最新函数的基本性质教案Word格式.docx

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4.两个函数图象的对称性

（1）函数与函数的图象关于直线（即轴）对称.

（2）函数与函数的图象关于直线对称.

（3）函数和的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；

若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.

5.互为反函数的两个函数的关系

27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数.

6.几个常见的函数方程

（1）正比例函数,.

（2）指数函数,.

（3）对数函数,.

（4）幂函数,.

（5）余弦函数,正弦函数，，

.

7.几个函数方程的周期（约定a>

0）

（1），则的周期T=a；

（2），

或，

或,

或,则的周期T=2a；

（3），则的周期T=3a；

（4）且，则的周期T=4a；

（5）

则的周期T=5a；

（6），则的周期T=6a.

8.分数指数幂

（1）（，且）.

（2）（，且）.

9.根式的性质

（1）.

（2）当为奇数时，；

当为偶数时，.

10.有理指数幂的运算性质

（2）.

（3）.

若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

34.对数的换底公式

（,且,,且,）.

推论（,且,,且,,）.

11.对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

（1）;

（2）;

设函数,记.若的定义域为,则，且;

若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.

12.对数换底不等式及其推论

若,,,,则函数

（1）当时,在和上为增函数.

（2）

（2）当时,在和上为减函数.

推论:

设，，，且，则

四．典例解析

题型一：

判断函数的奇偶性

例1．讨论下述函数的奇偶性：

解：

（1）函数定义域为R，

，

∴f（x）为偶函数；

（另解）先化简：

，显然为偶函数；

从这可以看出，化简后再解决要容易得多。

（2）须要分两段讨论：

①设

②设

③当x=0时f（x）=0，也满足f（－x）=－f（x）；

由①、②、③知，对x∈R有f（－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数；

（3），∴函数的定义域为，

∴f（x）=log21=0（x=±

1），即f（x）的图象由两个点A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f（x）既是奇函数，又是偶函数；

（4）∵x2≤a2,∴要分a>

0与a<

0两类讨论，

①当a>

0时，

，∴当a>

0时，f（x）为奇函数；

既不是奇函数，也不是偶函数.

点评：

判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。

例2．（2002天津文.16）设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：

①y=－|f（x）|；

②y=xf（x2）；

③y=－f（－x）；

④y=f（x）－f（－x）。

必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）

答案：

②④；

解析：

y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；

y=f（－x）－f（x）=－y。

该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。

对学生逻辑思维能力有较高的要求。

题型二：

奇偶性的应用

例3．（2002上海春，4）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=_____。

－1；

因为x≥0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（－x）=－f（x），设x＜0，所以f（x）=－f（－x）=－f（1－x），所以f（－2）=－log33=－1。

该题考察函数奇偶性的应用。

解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。

例4．已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2－x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x－1，求x∈[－4，0]时f（x）的表达式。

由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑：

①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，

∵f（x）为偶函数，

∴当x∈[－2，0]时，f（x）=f（－x）=－2x－1,

②若x∈[－4，－2，

∴4+x∈[0，2，

∵f（2+x）+f（2－x），

∴f（x）=f（4－x），

∴f（x）=f（－x）=f[4－（－x）]=f（4+x）=2（x+4）－1=2x+7；

综上，

结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。

题型三：

判断证明函数的单调性

例5．（2001天津，19）设，是上的偶函数。

（1）求的值；

（2）证明在上为增函数。

（1）依题意，对一切，有，即。

∴对一切成立，则，∴，

∵，∴。

（2）（定义法）设，则

，

由，得，，

∴，

即，∴在上为增函数。

（导数法）∵，

∴

∴在上为增函数

本题用了两种方法：

定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。

例6．已知f（x）是定义在R上的增函数，对x∈R有f（x）>

0，且f（5）=1，设F（x）=f（x）+，讨论F（x）的单调性，并证明你的结论。

这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。

在R上任取x1、x2，设x1<

x2，∴f（x2）=f（x1），

∵f（x）是R上的增函数，且f（10）=1，

∴当x<

10时0<

f（x）<

1,而当x>

10时f（x）>

1;

①若x1<

x2<

5，则0<

f（x1）<

f（x2）<

1,

②∴0<

f（x1）f（x2）<

1,

∴<

0,

∴F（x2）<

F（x1）；

②若x2>

x1>

5，则f（x2）>

f（x1）>

1,

∴f（x1）f（x2）>

∴>

∴F（x2）>

F（x1）；

综上，F（x）在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数。

该题属于判断抽象函数的单调性。

抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。

题型四：

函数的单调区间

例7．（2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。

.解：

在定义域内任取x1＜x2，

∴f（x1）－f（x2）＝

∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x1－x2＜0，

只有当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时函数才单调．

当x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2时f（x1）－f（x2）＞0．

∴f（x）在（－b，＋∞）上是单调减函数，在（－∞，－b）上是单调减函数．

本小题主要考查了函数单调性的基本知识。

对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。

例8．

（1）求函数的单调区间；

（2）已知若试确定的单调区间和单调性。

（1）函数的定义域为，

分解基本函数为、

显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增的。

根据复合函数的单调性的规则：

所以函数在上分别单调递增、单调递减。

（2）解法一：

函数的定义域为R，

分解基本函数为和。

显然在上是单调递减的，上单调递增；

而在上分别是单调递增和单调递减的。

且，

所以函数的单调增区间为；

单调减区间为。

解法二：

令，得或，

令，或

∴单调增区间为；

该题考察了复合函数的单调性。

要记住“同向增、异向减”的规则。

题型五：

单调性的应用

例9．已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f

（2）=0，解不等式f［log2（x2+5x+4）］≥0。

∵f

（2）=0,∴原不等式可化为f［log2（x2+5x+4）］≥f

（2）。

又∵f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上为增函数，

∴f（x）在（－∞,0）上为减函数且f（－2）=f

（2）=0。

∴不等式可化为log2（x2+5x+4）≥2①

或log2（x2+5x+4）≤－2②

由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0③

由②得0＜x2+5x+4≤得

≤x＜－4或－1＜x≤④

由③④得原不等式的解集为

{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0。

例10．已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m，使f（cos2θ－3）+f（4m－2mcosθ）>

f（0）对所有θ∈［0,］都成立？

若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由。

∵f（x）是R上的奇函数，且在［0，+∞］上是增函数，

∴f（x）是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f（cos2θ－3）>

f（2mcosθ－4m），

即cos2θ－3>

2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>

0。

设t=cosθ,则问题等价地转化为函数

g（t）=t2－mt+2m－2=（t－）2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g（t）在［0，1］上的最小值为正。

∴当<

0,即m<

0时，g（0）=2m－2>

0m>

1与m<

0不符；

当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g（m）=－+2m－2>

04－2<

m<

4+2，

∴4－2<

m≤2

当>

1,即m>

2时，g

（1）=m－1>

1。

∴m>

2

综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>

4－2。

另法（仅限当m能够解出的情况）：

cos2θ－mcosθ+2m－2>

0对于θ∈［0,］恒成立，等价于m>

（2－cos2θ）/（2－cosθ）对于θ∈［0,］恒成立

∵当θ∈［0,］时，（2－cos2θ）/（2－cosθ）≤4－2，∴m>

上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。

题型六：

最值问题

例11．（2002全国理，21）设a为实数，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R。

（1）讨论f（x）的奇偶性；

（2）求f（x）的最小值。

（1）当a=0时，函数f（－x）=（－x）2+|－x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数。

当a≠0时，f（a）=a2+1，f（－a）=a2+2|a|+1，f（－a）≠f（a），f（－a）≠－f（a）。

此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。

（2）①当x≤a时，函数f（x）=x2－x+a+1=（x－）2+a+。

若