全国初中数学联赛试题及答案.docx

全国初中数学联赛试题及答案.docx

《全国初中数学联赛试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国初中数学联赛试题及答案.docx（71页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

全国初中数学联赛试题及答案

２００１年全国初中数学联合竞赛试题

２００６年全国初中数学联赛决赛试卷

２００６年全国初中数学联赛决赛试卷答案

２００７年全国初中数学联赛决赛试卷

2008年全国初中数学联合竞赛第一试答案

2008年全国初中数学联合竞赛第二试

2008年全国初中数学联合竞赛第二试答案

2009年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1．设，则（）

A．24B．25C．D．

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）

A．B．C．D．

3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）

A．B．C．D．

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，

自点A作半圆的切线AE，则CBE＝（）

A．B．C．D．

6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（）

A．3B．4C．5D．6

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________．

2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______．

3．如果实数a、b满足条件，，则a+b=____．

4．已知a、b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a，b）共有_____对．

第二试（A）

一、（本题满分20分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C．设△ABC的外接圆的圆心为点P．

（1）证明：

⊙P与轴的另一个交点为定点．

（2）如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值．

二、（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求．

三、（本题满分25分）已知为正数，满足如下两个条件：

①

②

证明：

以为三边长可构成一个直角三角形．

第二试（B）

一、（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同．

二、（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点．PM、QN的中点分别为E、F．求证：

EF∥AB．

三、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同．

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试：

ACCBDB；-3，，-1，-7

第二试（A）

一、解：

（1）易求得点的坐标为，设，，则，．

设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则．

因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为（0，1）．

（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即．

又，

所以，解得．

二、解：

作E⊥AB于E，F⊥AB于F．

在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，．

又CD⊥AB，由射影定理可得，故，

．

因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝．

连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，

所以D⊥D，．

同理，可求得，．所以＝．

三、证法1将①②两式相乘，得，

即，

即，

即，

即，

即，

即，即，

即，

所以或或，即或或．

因此，以为三边长可构成一个直角三角形．

证法2结合①式，由②式可得，

变形，得③

又由①式得，即，

代入③式，得，即．

，

所以或或．

结合①式可得或或．

因此，以为三边长可构成一个直角三角形．

第二试（B）

一、解答与（A）卷第一题相同．

二、解：

因为BN是∠ABC的平分线，所以．

又因为CH⊥AB，

所以，

因此．

又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，

因此C、F、H、B四点共圆．

又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上．

同理可证，点E在CH的中垂线上．

因此EF⊥CH．又AB⊥CH，所以EF∥AB．

三、解答与（A）卷第三题相同．