专题15 二次函数中的圆和直线相切问题原卷版Word下载.docx

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直线EA与⊙M相切；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？

如果存在，请求出点P的坐标；

如果不存在，请说明理由．

2、如图，已知抛物线y=-（x2-7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．

（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：

y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；

（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：

直线MP是⊙N的切线．

3、已知二次函数y＝－x2＋bx＋c＋1.

（1）当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；

（2）若c＝－b2－2b，问：

b为何值时，二次函数的图象与x轴相切；

（3）如图所示，若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴l与x轴，直线BM，直线AM分别相交于点D，E，F，且满足＝，求二次函数的表达式．

4、如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2）．直线y＝x＋1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，⊙C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1）．直线m上每一点的纵坐标都等于1.

（1）求抛物线的表达式；

（2）证明：

⊙C与x轴相切；

（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F.求BE∶MF的值．

5、已知抛物线y＝x2＋mx－2m－4（m>

0）．

（1）证明：

该抛物线与x轴总有两个不同的交点．

（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．

①试判断：

不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？

若是，求出该定点的坐标；

若不是，说明理由；

②若点C关于直线x＝－的对称点为点E，点D（0，1），连结BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．

设BD＝a，BE＝2a，则DE＝a，∴＝＝.

6、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋x＋c的图象经过点C（0，2）和点D（4，－2），点E是直线y＝－x＋2与二次函数图象在第一象限内的交点．

（1）求二次函数的表达式及点E的坐标；

（2）如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连结MC，OE，ME，求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标；

（3）如图2，经过A，B，C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

7、若抛物线L：

y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．

（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；

（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（3）设

（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．

8、如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．

（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；

（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；

（3）在

（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：

是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？

若存在，请求出Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

9、如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．

（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；

（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝OC，若∠ONA＝∠OBN且tan∠BAM＝，求抛物线的解析式；

（3）如图3，已知以直线x＝为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于（0，5），交直线l：

y＝kx+m（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°

，求k的值．

10、如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；

点F是直线BC上的一个动点．

（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．

（2）如图2，将△BOC沿BC边所在直线翻折，得到△BOC′，点M为直线BO′上一动点，将△AOC绕点O顺时针旋转α度（0°

＜α＜180°

）得到△A′OC′，当直线A′C′，直线BO′，直线OM围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积．

11、如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（A左B右），与y轴交于C，直线y＝﹣x+5经过点B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m，点P到直线BC的距离为d，求d与m的函数解析式；

（3）在

（2）的条件下，若∠PCB+∠POB＝180°

，求d的值．

12、在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：

点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线：

满足且，则称直线：

是图形与的“隔离直线”，如图，直线：

是函数的图像与正方形的一条“隔离直线”.

（1）在直线①，②，③，④中，是图函数的图像与正方形的“隔离直线”的为.

（2）如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，⊙O的半径为，是否存在与⊙O的“隔离直线”？

若存在，求出此“隔离直线”的表达式：

若不存在，请说明理由；

（3）正方形的一边在轴上，其它三边都在轴的左侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图像与正方形的“隔离直线”，请直接写出的取值范围.

13、如图，已知直角坐标平面上的，，，且，，．若抛物线经过、两点．

求、的值；

将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点，求新抛物线的解析式；

设中的新抛物的顶点点，为新抛物线上点至点之间的一点，以点为圆心画图，当与轴和直线都相切时，联结、，求四边形的面积．

14、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x=﹣1与x轴交于点D．

（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？

若存在，求出点P的坐标；

如果不存在，请说明理由；

（3）若点Q在第三象限内，且tan∠AQD=2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；

15、如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．

（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．

（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？

若存在，有几个？

并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；

若不存在，说明理由．