韦达定理教师版Word格式.docx

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=+

=

=

=×

==

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x1+x2=，x1x2=

3.韦达定理

已知是一元二次方程的两根，则有

4.如果把方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的二次项系数化为1，则方程变形为x2＋x＋＝0（a≠0），

则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：

x2-（）x＋x1x2＝0（a≠0）

练习：

1、如果x1，x2是方程的两个实数根，求x1+x2和x1x2的值。

2、设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，

（1）试推导x1+x2=-，x1·

x2=；

（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值

例题分析：

例1：

已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；

设方程的另一个根是x1，那么（为什么？

）

∴x1=

又x1+2=（为什么？

∴k=

例2：

利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的

（1）平方和

（2）倒数和

设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=

（1）∵（x1+x2）2=x12+2+x22

∴x12+x22=（x1+x2）2-2=

（2）

例3：

求一个一元二次方程，使它的两个根是

所求的方程是x2-（）x＋（）＝0（为什么？

即x2+x-＝0或6x2+x-＝0

例4：

已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。

解：

根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x＋9＝0的两个根

解这个方程，得x1=，x2=

因此，这两个数是，

1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？

（1）y2-3y+1=0

（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2+5x-2=0（5）2y2-5=6y

2、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值

3、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值

（1）（x1+1）（x2+1）

（2）

4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-7

5、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数。

7.如果方程2x2＋kx-5＝0的实数根互为相反数，那么k=

8.已知是方程x2＋２x-5＝0　的实数根，求的值

9.已知一元二次方程

（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设是方程的两个实数根，且满足，求m的值

10.关于x的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。

韦达定理的应用

韦达定理：

对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么

说明：

（1）定理成立的条件

（2）注意公式重的负号与b的符号的区别

根系关系的三大用处

（1）计算对称式的值

例.若是方程的两个根，试求下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

由题意，根据根与系数的关系得：

（1）

（2）

（3）

（4）

利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

，，，

，，

等等．韦达定理体现了整体思想．

【课堂练习】

1．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________

2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·

x2＝，（x1－x2）2＝

3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k=;

4．若方程x2+（a2－2）x－3=0的两根是1和－3，则a=;

5．若关于x的方程x2+2（m－1）x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;

6．设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：

（1）x12x2+x1x22

（2）－

7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（2）构造新方程

理论：

以两个数为根的一元二次方程是。

例.解方程组x+y=5

xy=6 

显然，x，y是方程z2-5z+6＝0①的两根

由方程①解得z1=2,z2=3

∴原方程组的解为x1=2,y1=3

x2=3,y2=2

显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围

例.一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。

设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2

由题意知

△＝k2-4×

2×

2≥0，k≥4或k≤-4

∴为所求。

【典型例题】

例1已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．

（1）方程两实根的积为5；

（2）方程的两实根满足．

分析：

（1）由韦达定理即可求之；

（2）有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论．

（1）∵方程两实根的积为5

∴

所以，当时，方程两实根的积为5．

（2）由得知：

①当时，，所以方程有两相等实数根，故；

②当时，，由于，故不合题意，舍去．综上可得，时，方程的两实根满足．

根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．

例2已知是一元二次方程的两个实数根．

（1）是否存在实数，使成立？

若存在，求出的值；

若不存在，请您说明理由．

（2）求使的值为整数的实数的整数值．

（1）假设存在实数，使成立．

∵一元二次方程的两个实数根

∴，

又是一元二次方程的两个实数根

∴

，但．

∴不存在实数，使成立．

（2）∵

∴要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，

要使的值为整数的实数的整数值为．

（1）存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．

（2）本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法．

典型例题

A组

1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

2．若是方程的两个根，则的值为（）

A．B．C．D．

3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于（）

A．B．C．D．

4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是（）

A．B．C．D．大小关系不能确定

5．若实数，且满足，则代数式的值为（）

6．如果方程的两根相等，则之间的关系是______

7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______．

8．若方程的两根之差为1，则的值是_____．

9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_____．

10．已知实数满足，则=_____，=_____，=_____．

11．对于二次三项式，小明得出如下结论：

无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？

请您说明理由．

12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．

13．已知关于的一元二次方程．

（1）求证：

不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两根为，且满足，求的值．

14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．

（1）取何值时，方程存在两个正实数根？

（2）当矩形的对角线长是时，求的值．

B组

1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？

如果存在，求出的值；

如果不存在，请您说明理由．

2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：

关于的方程有实数根．

3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．

（1）求实数的取值范围；

（2）若，求的值．

1.不解方程说出下列方程的两根和与两根差：

（1）

（2）（3）

2.已知关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和等于4？

若存在，求出满足条件的的值；

若不存在，说明理由。

3.已知方程，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。

4.解方程组解方程组

5.已知一元二次方程的两个实数根满足，，，分别是的，，的对边。

（1）证明方程的两个根都是正根；

（2）若，求的度数。

6.在中，，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于的方程的两个实数根，求的值。

7.

（1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍，则k=________

（2）已知：

a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根，求：

（1+2006a+a2）（1+2005b+b2）=__________

解法一：

（1+2006a+a2）（1+2005b+b2）=（1+2000a+a2+6a）（1+2000b+b2+5b）=6a•5b=30ab

解法二：

由题意知∵a2+2000a+1=0；

b2+2000b+1=0∴a2+1=-2000a;

b2+1=-2000b

∴（1+2006a+a2）（1+2005b+b2）=（2006a-2000a）（2005b-2000b）=6a•5b=30ab

解法三：

∵ab=1，a+b=-2000∴（1+2006a+a2）（1+2005b+b2）=（ab+2006a+a2）（ab+2005b+b2）

=a（b+2006+a）•b（a+2005+b）=a（2006-2000）•b（2005-2000）=30ab

8.已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．

9.若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：

x＝y．

10.已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．

11.设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：

p＝q或p＋q＝－4．

证明：

设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．

由题意知α－β＝α＇－β＇，

故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β