湖北省武汉市部分重点中学学年高二下学期期中联考数学试题含答案文档格式.docx
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8月
月份代码
1
2
3
4
5
摊位数（万个）
290
330
440
480
若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则表中的值为（）
A.340B.360C.380D.无法确定
5.设集合，集合，若的概率为1，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
6.在一段线路中有4个自动控制的常用开关、、、，如图连接在一起，假定在2021年5月份开关，能够闭合的概率都是0.7，开关，能够闭合的概率都是0.8，则在5月份这段线路能正常工作的概率为（）
A.0.9676B.0.9982C.0.3136D.0.9674
7.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能为3分，2分，1分或0分），其中，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则的最大值为（）
8.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：
数字
形式
6
7
8
9
纵式
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图；
如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（）
A.46B.44C.42D.40
二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，本题共4小题，每小题5分，共20分）
9.有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订一种报纸”，事件为“至多订一种报纸”，事件为“一种报纸也不订”.下列命题正确的是（）
A.与是互斥事件B.与是互斥事件，且是对立事件
C.与不是互斥事件D.与是互斥事件
10.若，则的取值可能是（）
A.6B.7C.8D.9
11.某次数学考试的一道多项选择题，要求是：
“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）
A.甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是
B.乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C.丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是
D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
12.袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（）
A.B.
C.的期望D.的方差
二、填空题：
（共计20分，其中每题5分）
13.已知随机变量，且，则__________.
14.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，设“取到的2个数之和为偶数”为事件，“取到的2个数均为偶数”为事件，则__________.
15.有9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；
若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，需要补种的坑数为2的概率等于__________.
16.已知，集合，集合，则从到的函数个数是__________.
四、解答题：
本大题共6小题，共70分.
17.已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：
（1）的值；
（2）展开式中含的项.
18.已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，他们综合评价成绩的频数分布列以及对“举办辩论赛”的赞成人数如表：
综合评价成绩（单位：
分）
频数
10
15
赞成人数
12
（1）请根据以上统计数据填写下面列联表，并回答：
是否有的把握认为“综合评价成绩以80分为分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？
综合评价成绩小于80分的人数
综合评价成绩不小于80分的人数
合计
赞成
不赞成
（2）若采用分层抽样在综合评价成绩在，的学生中随机抽取10人进行追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在的概率.
参考公式：
，其中.
参考数据：
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
19.一研学实践活动小组利用课余时间，对某公司1至5月份销售某种产品的销售量及销售单价进行了调查，月销售单价（单位：
元）和月销售量（单位：
百件）之间的一组数据如下表所示：
月销售单价（元）
1.6
1.8
2.2
2.4
月销售量（百件）
（1）根据1至5月份的数据，求出关于的回归直线方程；
（2）预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从
（1）中的关系，若该种产品的成本是1元/件，那么该产品的月销售单价应定为多少元，才能获得最大月利润？
（注：
利润＝销售收入－成本）
附：
回归直线方程，其中，.
，.
20.三棱柱中，平面平面，，，，为中点.
（1）证明：
平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦.
21.2021年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:
20~10:
40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:
20~9:
40记作区间，9:
40~10:
00记作，10:
00~10:
20记作，10:
40记作.例如：
10点02分，记作时刻62.
（1）估计这600辆车在9:
40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:
00之间通过的车辆数为，求的分布列与数学期望；
（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布，其中可用这600辆车在9:
40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替同一组中的数据用该组区间的中点值代表，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:
46~10:
22之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
若，则①；
②；
③.
22.已知椭圆：
，点在椭圆上，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆长轴的左端点，，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线，斜率分别为，，若，请判断直线是否过定点？
若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.
参考答案
一、单选题
1-5：
DBABD6-8：
ADB
二、多选题
9.BC10.BC11.ABC12.ACD
三、填空题
13.12814.15.16.2187
四、解答题
17.【答案】
（1），
，
依题意得，∴，
∴，.
（2）设第项含项，则，
∴，，
∴第二项为含的项：
.
18.【答案】
（1）
28
32
18
40
50
∴，
故此不能推翻假设，不能认定成绩和态度有关.
（2）∵分层抽样，∴在里面抽6个，里面抽4个，
设为没有人在内的事件，则概率即为
19.【答案】
解：
（1）∵，.
∴回归直线方程为.
（2）设该产品的月销售单价为元，月利润为百元，则
∵，∴.
∴当时，（百元）.
∴该产品的月销售单价应定为2元才能获得最大月利润为7百元.
20.【答案】
（1）∵平面平面，且，
∴平面，
连接，由，，
∴是等边三角形，，
∵，，，
而平面，故平面平面.
（2）取中点为，是等边三角形可知：
平面，以为原点，、、方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，又，
故所求线面角的正弦为：
21.【答案】
（1）这600辆车在9:
40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为
，即10点04分.
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：
抽取的10辆车中，
在10:
00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数，
即，所以的可能取值为0，1，2，3，4.
所以，，
所以的分布列如图所示：
所以.
（3）由
（1）可得，
估计在9:
46-10:
22这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，
由，得，
所以，估计在9:
22这一时间段内通过的车辆数为（辆）.
22.【答案】
（1）因为椭圆过点且离心率为，
所以，所以解得，所以椭圆方程为；
（2）因为，设，，当直线的斜率存在时，设直线：
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以，所以或，
当时，：
，此时过点，不符合题意，舍去.
，此时过定点；
当直线的斜率不存在时，：
，所以，坐标为，，
所以，满足要求，
综上可知：
直线过定点.
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