专题111《平行线》几何模型1知识讲解七年级数学下册基础知识专项讲练浙教版文档格式.docx

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过点B作PQ//MA.则MAIINC//PQ•.•MA//NC//PQ,

・・・ZABQ二ZA,,ZCBQ二ZC,

ZB=ZABQ-ZCB0,

/.ZA-ZC=ZB

几何模型4：

折鸡翅模型

图四

ZA=ZC+ZB

过点B作PQ//MA•则MA//NC//PQ

•.•MA//NC//PQ,

・•・ZABQ二Z—ZCBQ二ZC,

/.ZABC=ZABQ-ZCB0,

/.ZA=ZACB+ZC

几何模型5：

多个M型模型

MA//NB=>

Z呂+ZP>

+…+ZE=ZA+ZQ+ZQ+…

证明思路参考几何模型1

几何模型6：

多个铅笔头模型

Pi

Py

MA!

INB=>

£

PX+Z鬥+…+Z£

=ZA+ZQ+ZQ+…Q-+Z3

证明思路参考几何模型2

类型一、M型模型

【答案】x+y_z=90。

【分析】

过C作QV//AB,过D作DM/ZA8,根据平行线的性质可知AB//CN//DM//EF,然后根据平行线的性质即可求解；

解：

如图，过C作CNHAB，过D作DMIIAB.

二AB//CN//DM//EF，

二x=上1,N2=Z3‘Z4=z，

二ZBCD=90。

ZZ1+Z2=9O°

Zx+Z3=90°

.

二x+Z3+Z4=90+，

二x+y=90°

+z,

二x+y-z=90°

故答案为：

x+y-z=90°

【点拨】本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键:

举一反三：

【变式1】

（2020四川成都市天府四中七年级期中）如图,

EE//MNyCA±

CB.ZEAC=35°

271,则ZMBC=

【答案】5433，

【分析】过C点做EF的平行线，利用平行线的性质，即町证明.

过C点做EF的平行线GH、

:

.EF//GH//MN9

.ZEAC=ZACH=3527^

又vCA丄C5

・・・ZACB=90。

・・・ZHCB=ZACB一ZACH=54。

33；

・・・ZHCB=ZCBM=54331

5433J

【点拨】本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线.

【变式2】

（2019辽宁大连市七年级期末）阅读材料：

如图1,点A是直线MN上一点，MN上方的四边形ABCQ中，ZABC=140。

，延长BC,

2ZDCE=ZMAD+ZADC,探究ZDCE与ZMAB的数量关系，并证明•

小白的想法是：

“作ZECF=Z£

CD（如图2）,通过推理可以得到CF〃MN,从而得出

结论：

请按照小白的想法完成解答:

拓展延伸:

保留原题条件不变，CG平分ZECD、反向延长CG,交ZMAB的平分线于点H（如图3）.

设ZMAB=a，请直接写岀的度数（用含©

的式子表示）.

【答案】阅读材料：

ZECD=40o+ZM4B・见解析：

拓展延伸：

ZCH4=120°

-6Z.

（1）作ZECF=ZECD,DG//MN.BH//MN.由平行线性质可得

ZM4D+ZADG=180。

，结合已知2ZDCE=ZMAD+ZADC.nJ证

ZCDG+ZDCF=180。

，进而得到DG//CF,从而CF//BH.

ZBCF+ZMAB=ZABC=140°

•将ZBCF=180°

-ZECF=180°

-ZECD代入可得

Z£

CD=40°

+ZM4B

（2）过H点作HP二MN.nJW=CHA=ZPHA+ZPHC,结介

（1）的结论和CG平分二ECD可得二PHC=ZFCH=120。

--ZMAB，即可得ZCHA=120。

一a

2

【阅读材料】

作ZECF=ZECD•DG//MN,BHHMN（如图1）.

解图1

DGHMN,

.ZMAD+ZADG=\W.

.ZCDG+（ZM4D+ZADC）=180。

•••2ZDCE=ZMAD+ZADC,

.・.ZCDG+2ZDCE=180°

・•・ZCDG+ZDCF'

=180°

.・.DG//CF

DG//MNt

.MN//CF.

BHHMN,

・•・CF//BH.

.ZBCF=ZCBH,ZMAB=ZABH■

.ZBCF+ZMAB=ZABC=140°

•••ZBCF=180°

-ZECD,

，ZECD=^°

+AMAB.

【拓展延伸】

ZCHA=i20°

-a

理由：

如图，作ZECF=ZECD,过H点作HPZMN,

ZZPHA=ZMAH=1/BAM,

由

（1）得FC二MN,

二FCZZHP,

二二PHC=二FCH,

二ZECD=40°

+ZMAB.CGT分二ECD,

=ZECG=200+1ZMAB,

二ZFCH=180°

-ZECF-ZECG

=180°

-（40°

+ZMAB）-（20°

+-ZMAB）2

=120°

--ZMAB

ZZCHA=ZPHA+ZPHC=丄ZZMAB+（120°

--ZMAB）=120°

-ZMAB

22

即：

ZCHA=\20°

【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构适内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导.余角和补角计算的应用.常常与等式的性质.等量代换相关联.解题时注意方程思想的运用.

类型二、铅笔头型模型

（2020-山东聊城市•七年级期末）直线AB、CD被直线EF所截，ABZCD,点P是

平面内一动点.

（1）若点P在直线CD上，如图二，Za=50°

则二2=

（2）若点P在直线AB、CD之间，如图二试猜想二a、匚1.二2之间的等量关系并给出证

明:

（3）若点P在直线CD的下方，如图二，

（2）中二g二1、二2之间的关系还成立吗？

请作

出判断并说明理由.

（1）由题意直接根据平行线的性质可直接求解；

（2）由题意过P作PGZAB.贝IJPGZABZCD,利用平行线的性质即可求解：

（3）根据题意过P作PHZAB,则PHZABZCD,利用平行线的性质进行分析即可求解.

（1）VABZ/CD,Za=50°

AZ2=Za=50°

50：

（2）=Z1+Z2.

过P作PG〃AB,

VAB//CD,

••・PG〃AB〃CD,

AZ2=ZEPGtZ1=ZFPG,

IZa=ZEPF=ZEPG+ZFPG>

AZ«

=Z1+Z2：

（3）不成立.

过P作PH〃AB,

•••PH〃AB〃CD,

•••Z2=ZEPH,Z1=ZFPH<

VZu=ZEPF=ZEPH・ZFPH.

AZa=Z2-Zl,

故不成立.

【点拨】本题主要考查平行线的性质，注意掌握并灵活运用平行线的性质是解题的关键.

举一反三：

（2020河北邢台市八年级月考）如图1,四边形MN3D为一张长方形纸片.

（1）如图2,将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ZBAE、ZAEC、ZECD）,贝ij

ZBAE+ZAEC+ZECD=°

（2）如图3,将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ZBAE、ZAEF、ZEFC、ZFCD）,

则ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=°

（3）如图4,将长方形纸片剪四刀，剪出五个角

（ZBAE、ZAEF、AEFG、ZFGC、ZGCD）,则

ZBAE+ZAEF+ZEFG+ZFGC+ZGCD=°

（4）根据前而探索出的规律，将本题按照上述剪法剪”刀，剪出（H+1）个角，那么这（〃+1）

个角的和是

【答案】

（1）360；

（2）540；

（3）720；

（4）180/7.

（1）过点E作EHZAB,再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180。

的2倍；

（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角

的和等于180。

的三倍；

（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。

的三倍：

（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪岀n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度.证明：

（1）过E作EH/7AB（如图②）.

•・•原四边形是长方形，

又VEH/7AB,

.・.CD〃EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.

VEH/7AB.

.・.ZA+Z1=18（T（两直线平行，同旁内角互补）.

VCD//EH,

AZ2+ZC=180a（两直线平行，同旁内角互补）.

/.ZA+Z1+Z2+ZC=36O°

又・.・Z1+Z2=ZAEC,

ZBAE+ZAEC+ZECD=360°

；

（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示,

用上而的方法可得ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=540°

（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示,

用上而的方法可得ZBAE+ZAEF+ZEFG-ZFGC+ZGCD=720°

:

（4）由此可得一般规律：

剪n刀，剪岀n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度.

（1）360：

（3）720：

（4）180n.

【点拨】题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点.

（2020湖北随州市七年级期末）已知“〃2,点A，C分别在直线12上，点

3在直线厶与厶之间，ZBC7V<

ZB/Uf<

90°

.

（1）如图1,求证：

ZABC=ABAM+ZBCN.

阅读并补齐下列推理过程

过点3作BG//NC，因为"

〃2，

所以AM//（）

所以ZABG=ZBAM,ZCBG=ZBCN（）

所以ZABC=ZABG+ZCBG=ZBAM+ZBCN.

解题反思：

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化'

'

的功能，在学习中要注意体会.

NC

图1

（2）如图2,点£

）,E在直线厶上，ZDBC=ZBAM,BE平分ZABC,

求证：

ZD